Complete o quadrado e use as integrais do exercício (4) para calcular as integrais:
\int \frac{1}{2 x^{2}+3 x+1} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\int \frac{1}{2 x^{2}+3 x+1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função racional \dfrac{1}{2x^{2}+3x+1}. A instrução do enunciado diz para completar o quadrado e usar integrais padrão (as do exercício (4)), ou seja, usar integrais conhecidas para formas do tipo \dfrac{1}{u^{2}-a^{2}} ou semelhantes.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador passo a passo. Começo tirando o fator 2:
2x^{2}+3x+1 = 2\!\left(x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\right).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}+\dfrac{3}{2}x o termo a adicionar/subtrair é \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}. Assim
x^{2}+\frac{3}{2}x = \left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}.
Substituindo na expressão:
x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2} = \left(x+\frac{3}{4}\right)^{2} - \frac{9}{16} + \frac{1}{2} = \left(x+\frac{3}{4}\right)^{2} - \frac{1}{16}.
Multiplicando por 2,
2x^{2}+3x+1 = 2\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2} - \frac{1}{8}.

Passo 3

Reescrevo o denominador numa forma que facilite substituição para uma expressão do tipo u^{2}-1. Factorizo o resultado:
2x^{2}+3x+1 = 2\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}\Big(16\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-1\Big).
Defino a substituição conveniente
u = 4\left(x+\frac{3}{4}\right)=4x+3.
Com isso u^{2}=16\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^{2} e então
2x^{2}+3x+1 = \frac{1}{8}\big(u^{2}-1\big).
Também calculo a transformação de diferencial: du = 4\,dx, logo dx=\dfrac{du}{4}.

Passo 4

Agora reescrevo a integral com u. Substituindo o denominador e dx,
\int \frac{1}{2x^{2}+3x+1}\,dx = \int \frac{1}{\tfrac{1}{8}(u^{2}-1)}\cdot\frac{du}{4} = \int \frac{8}{u^{2}-1}\cdot\frac{du}{4} = \int \frac{2}{u^{2}-1}\,du.
Portanto precisamos calcular \displaystyle \int \frac{2}{u^{2}-1}\,du.

Passo 5

Usamos a integral padrão (que pode ser obtida por frações parciais): para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}-a^{2}}\,du = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C.
No nosso caso a=1, então
\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C.
Multiplicando por 2 (o coeficiente da nossa integral),
\int \frac{2}{u^{2}-1}\,du = \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C.

Passo 6

Volto à variável x usando u=4x+3:
\int \frac{1}{2x^{2}+3x+1}\,dx = \ln\left|\frac{4x+3-1}{4x+3+1}\right| + C = \ln\left|\frac{4x+2}{4x+4}\right| + C.
Posso simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\ln\left|\frac{4x+2}{4x+4}\right| = \ln\left|\frac{2x+1}{x+1}\right| + C.
Como constante multiplicativa dentro do log vira uma constante aditiva, esta forma é equivalente a outras formas (por exemplo \ln\big|\tfrac{x+1/2}{x+1}\big|+C).

Resposta

\displaystyle \ln\left|\frac{2x+1}{x+1}\right|+C

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