Complete o quadrado e use as integrais do exercício (4) para calcular as integrais: \int \frac{1}{2 x^{2}+3 x+1} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
\int \frac{1}{2 x^{2}+3 x+1}\,dx.
Informações dadas: o integrando é a função racional \dfrac{1}{2x^{2}+3x+1}. A instrução do enunciado diz para completar o quadrado e usar integrais padrão (as do exercício (4)), ou seja, usar integrais conhecidas para formas do tipo \dfrac{1}{u^{2}-a^{2}} ou semelhantes.
Passo 2
Vamos completar o quadrado no denominador passo a passo. Começo tirando o fator 2:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}+\dfrac{3}{2}x o termo a adicionar/subtrair é \left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}. Assim
Usamos a integral padrão (que pode ser obtida por frações parciais): para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}-a^{2}}\,du = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right| + C.
No nosso caso a=1, então
\int \frac{1}{u^{2}-1}\,du = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C.
Multiplicando por 2 (o coeficiente da nossa integral),
\int \frac{2}{u^{2}-1}\,du = \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| + C.
Passo 6
Volto à variável x usando u=4x+3:
\int \frac{1}{2x^{2}+3x+1}\,dx = \ln\left|\frac{4x+3-1}{4x+3+1}\right| + C = \ln\left|\frac{4x+2}{4x+4}\right| + C.
Posso simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 2:
\ln\left|\frac{4x+2}{4x+4}\right| = \ln\left|\frac{2x+1}{x+1}\right| + C.
Como constante multiplicativa dentro do log vira uma constante aditiva, esta forma é equivalente a outras formas (por exemplo \ln\big|\tfrac{x+1/2}{x+1}\big|+C).