(2.0) Calcule usando mudança e coordenada esféricas a integral
onde
e
é a seguinte região ,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
e
é a bola de raio
centrada na origem, ou seja
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A região
é a esfera sólida (bola) de raio centrada na origem.
O que se pede: - Calcular o valor numérico da integral tripla
.
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas?
- A região
é perfeitamente simétrica (uma bola), então coordenadas esféricas tornam os limites simples: vai de a , de a , de a . - Em coordenadas cartesianas a integral fica mais trabalhosa; em esféricas a simetria simplifica muito.
Vou agora apresentar as fórmulas básicas de coordenadas esféricas e o elemento de volume (essa é a “aula rápida” necessária para entender a troca de variáveis).
Definições (padrão usado aqui): -
é a distância do ponto à origem (raio). -
é o ângulo polar entre o vetor posição e o eixo (ou seja, no pólo norte e no pólo sul). -
é o ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo .
Relações entre coordenadas:
Elemento de volume (Jacobian):
Comentário didático sobre o Jacobiano: pense que numa casca esférica de raio
um pequeno pedaço tem área aproximada
; multiplicando por
obtemos o volume
. Essa é a origem geométrica da fórmula.
Passo 3
Expressar a função
em esféricas:
usando temos
usando
Agora substituímos também o elemento de volume
. Portanto o integrando convertido fica:
Passo 4
Determinar os limites de integração para a bola de raio
:
-
varia de até (distância radial). -
varia de até (ângulo polar cobre todo o eixo ). -
varia de até (ângulo ao redor do eixo ).
Montando a integral tripla em esféricas:
Passo 5
Separar integrais quando possível e executar a integração em
(é a mais simples):
o integrando não depende de , logo
o integrando não depende de
Podemos escrever:
Passo 6
Calcular a integral em
:
Fação a substituição
. Então
, ou
.
Quando temos
. Quando
temos
.
Portanto a integral torna-se
Quando
Portanto a integral torna-se
Agora calculamos
Passo 7
Calcular a integral em
:
Passo 8
Juntar os resultados:
- fator de
: , - integral em
: , - integral em
: .
Multiplicando: