(2.0) Calcule usando mudança e coordenada esféricas a integral \iiint_{B} f(x, y, z) d x d y d z onde f(x, y, z)=z^{2} e B é a seguinte região , B=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz
onde f(x,y,z)=z^{2} e B é a bola de raio 1 centrada na origem, ou seja
B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=z^{2}.
  • A região B é a esfera sólida (bola) de raio 1 centrada na origem.
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral tripla \iiint_{B} z^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas?
  • A região B é perfeitamente simétrica (uma bola), então coordenadas esféricas tornam os limites simples: \rho vai de 0 a 1, \varphi de 0 a \pi, \theta de 0 a 2\pi.
  • Em coordenadas cartesianas a integral fica mais trabalhosa; em esféricas a simetria simplifica muito.
    Vou agora apresentar as fórmulas básicas de coordenadas esféricas e o elemento de volume (essa é a “aula rápida” necessária para entender a troca de variáveis).
    Definições (padrão usado aqui):
  • \rho é a distância do ponto à origem (raio).
  • \varphi é o ângulo polar entre o vetor posição e o eixo z (ou seja, \varphi=0 no pólo norte e \varphi=\pi no pólo sul).
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x.
    Relações entre coordenadas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Elemento de volume (Jacobian):
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Comentário didático sobre o Jacobiano: pense que numa casca esférica de raio \rho um pequeno pedaço tem área aproximada (\rho\,d\varphi)\cdot(\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta; multiplicando por d\rho obtemos o volume \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Essa é a origem geométrica da fórmula.

Passo 3

Expressar a função f(x,y,z)=z^{2} em esféricas:
usando z=\rho\cos\varphi temos
z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
Agora substituímos também o elemento de volume dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Portanto o integrando convertido fica:
z^{2}\,dV = \rho^{2}\cos^{2}\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Determinar os limites de integração para a bola de raio 1:
  • \rho varia de 0 até 1 (distância radial).
  • \varphi varia de 0 até \pi (ângulo polar cobre todo o eixo z).
  • \theta varia de 0 até 2\pi (ângulo ao redor do eixo z).
    Montando a integral tripla em esféricas:
\iiint_{B} z^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Separar integrais quando possível e executar a integração em \theta (é a mais simples):
o integrando não depende de \theta, logo
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Podemos escrever:
\iiint_{B} z^{2}\,dV = 2\pi \left(\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi\sin\varphi \,d\varphi\right)\left(\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho\right).

Passo 6

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi\sin\varphi \,d\varphi.
Fação a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi, ou \sin\varphi\,d\varphi=-du.
Quando \varphi=0 temos u=\cos 0=1. Quando \varphi=\pi temos u=\cos\pi=-1.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\varphi\sin\varphi \,d\varphi = \int_{1}^{-1} u^{2}(-du) = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
Agora calculamos
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.

Passo 7

Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.

Passo 8

Juntar os resultados:
  • fator de \theta: 2\pi,
  • integral em \varphi: \tfrac{2}{3},
  • integral em \rho: \tfrac{1}{5}.
    Multiplicando:
2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{15}.

Resposta

\dfrac{4\pi}{15}

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