Nos exercícios abaixo:
Calcule \iint_{B} y d x d y onde B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} y\,dx\,dy
onde B é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1).\n
Informações dadas:
\text{vértices: }(0,0),\\ (1,0),\\ (0,1).é
A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla acima sobre esse triângulo.

Passo 2

Vamos descrever geometricamente a região B. O triângulo está no primeiro quadrante e é limitado pelas retas x=0, y=0 e pela reta que liga (1,0) a (0,1), que tem equação x+y=1. Logo, podemos escrever B por desigualdades:
B=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.
Duas formas úteis para os limites de integração (iteradas) são:
\text{(a)}\quad 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1-x,
\text{(b)}\quad 0\le y\le 1,\quad 0\le x\le 1-y.
Vou usar a forma (b) (integramos primeiro em x) porque o integrando y não depende de x, o que deixa a integral interior muito simples.

Passo 3

Breve explicação do procedimento (sem jargão pesado): integrar uma função f(x,y) sobre uma região B dá a “soma” do valor de f multiplicado por uma pequena área em B — geometricamente é o volume sob a superfície z=f(x,y) e sobre B. Pelo Teorema de Fubini, quando f é razoável (contínua aqui), podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada:
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy=\int_{y=\alpha}^{\beta}\left(\int_{x=\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\right)dy
ou trocando a ordem dx e dy. Cada integral interior é uma integral simples (uma variável), que já sabemos fazer.

Passo 4

Escolha do método e por quê: como f(x,y)=y não depende de x, é mais direto integrar primeiro em x — a integral interna será y vezes o comprimento do intervalo em x. Isso evita derivar antiderivadas mais complicadas. Em alternativa poderíamos integrar primeiro em y; ambos dão o mesmo resultado.

Passo 5

Montando a integral iterada com a ordem escolhida (integrar em x primeiro):
\iint_{B} y\,dx\,dy=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1-y} y\,dx\right)dy,
onde usei os limites da forma (b) do Passo 2: para cada y entre 0 e 1, x vai de 0 até 1-y.

Passo 6

Calcule a integral interna. Como y é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{1-y} y\,dx = y\int_{x=0}^{1-y} 1\,dx = y\bigl[x\bigr]_{0}^{1-y} = y(1-y).
Expliquei: \int 1\,dx = x, e avaliando de 0 a 1-y 1-y, multiplicando por y.

Passo 7

Agora resta calcular a integral externa:
\int_{y=0}^{1} y(1-y)\,dy = \int_{0}^{1} (y - y^{2})\,dy.
Calcule as primitivas termo a termo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2},\qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1} (y - y^{2})\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{3}}{3} - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}.

Passo 8

Faça a conta final das frações: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}. Como checagem rápida, se tivéssemos integrado primeiro em y (forma (a) do Passo 2) obteríamos o mesmo número — é sempre bom checar com a outra ordem quando possível.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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