Nos exercícios abaixo:
Calcule
onde
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo com vértices em
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla acima sobre esse triângulo.
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a região
. O triângulo está no primeiro quadrante e é limitado pelas retas
,
e pela reta que liga
a
, que tem equação
. Logo, podemos escrever
por desigualdades:
Duas formas úteis para os limites de integração (iteradas) são:
Vou usar a forma (b) (integramos primeiro em
) porque o integrando
não depende de
, o que deixa a integral interior muito simples.
Passo 3
Breve explicação do procedimento (sem jargão pesado): integrar uma função
sobre uma região
dá a “soma” do valor de
multiplicado por uma pequena área em
— geometricamente é o volume sob a superfície
e sobre
. Pelo Teorema de Fubini, quando
é razoável (contínua aqui), podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada:
ou trocando a ordem
e
. Cada integral interior é uma integral simples (uma variável), que já sabemos fazer.
Passo 4
Escolha do método e por quê: como
não depende de
, é mais direto integrar primeiro em
— a integral interna será
vezes o comprimento do intervalo em
. Isso evita derivar antiderivadas mais complicadas. Em alternativa poderíamos integrar primeiro em
; ambos dão o mesmo resultado.
Passo 5
Montando a integral iterada com a ordem escolhida (integrar em
primeiro):
onde usei os limites da forma (b) do Passo 2: para cada
entre
e
,
vai de
até
.
Passo 6
Calcule a integral interna. Como
é constante em relação a
,
Expliquei:
, e avaliando de
a
dá
, multiplicando por
.
Passo 7
Agora resta calcular a integral externa:
Calcule as primitivas termo a termo:
Portanto
Passo 8
Faça a conta final das frações:
. Como checagem rápida, se tivéssemos integrado primeiro em
(forma (a) do Passo 2) obteríamos o mesmo número — é sempre bom checar com a outra ordem quando possível.