Calcule usando mudança de coordenadas:
integral duplaD(x^2-y^2) sen((x+y)^2) d x d y, onde D é o paralelogramo de vértice (0,0),(pi4,-pi4),(pi2, 0) e (pi4, pi4).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular
integral duplaDl(x^2-y^2r),sinl((x+y)^2r),d x,d y
onde D é o paralelogramo de vértices (0,0), l(tfracpi4,-tfracpi4r), l(tfracpi2,0r) e l(tfracpi4,tfracpi4r). Vamos usar mudança de variáveis
u = x+y, v = x-y

Passo 2

Nessa transformação temos
x=u+v2, y=u-v2,
logo
x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = u,v, (x+y)^2 = u^2
O jacobiano é
|partial(x,y)partial(u,v)| = tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12 Longrightarrow d x,d y = tfrac12,d u,d v
]

Passo 3

Mapeando os vértices de D no plano uv:
(0,0)mapsto(0,0), l(tfracpi4,-tfracpi4r)mapstol(0,tfracpi2r), l(tfracpi2,0r)mapstol(tfracpi2,tfracpi2r), l(tfracpi4,tfracpi4r)mapstol(tfracpi2,0r)
Assim D vira o retângulo
0<= u<= pi2, 0<= v<= pi2

Passo 4

A integral transforma-se em
integral dupla[0,pi/2]^2u,v,sin(u^2),12,d v,d u

Passo 5

Integramos primeiro em v:
integral0^pi/2v,d v =12l(pi2r)^2 =pi^28
Logo a integral total fica
12cdotpi^28 integral0^pi/2u,sin(u^2),d u =pi^216 integral0^pi/2u,sin(u^2),d u

Passo 6

Para
integral0^pi/2u,sin(u^2),d u
faça w=u^2, então d w=2u,d u e os limites vão de 0 a pi^2/4. Obtém-se
integral0^pi/2u,sin(u^2),d u =12integral0^pi^2/4sin(w),d w =12l[1-cosl(tfracpi^24r)r]
Substituindo, a integral vale
pi^216cdot12 l[1-cosl(tfracpi^24r)r] =pi^232l[1-cosl(tfracpi^24r)r]

Resposta

pi^232l(1-cosl(tfracpi^24r)r)

Exercícios relacionados