Calcule usando mudança de coordenadas:
integralR integral cos (pi(y-x)4(y+x)) d y d x, onde R é a região do 1^circ quadrante limitada pelas retas x+y=1 e x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaRcos!gl(pi,(y - x)4,(y + x)gr),dy,dx
onde R é a parte do 1º quadrante limitada pelas retas x+y=1 e x+y=2.
Perceba que a função depende apenas de y-x e y+x, então uma mudança de variáveis
u = y - x, v = y + x
é natural. Vamos usar essa transformação para simplificar a integral.

Passo 2

Expressando x e y em função de u e v, temos
x = v - u2, y = v + u2
O jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y) é
J = gl|detpartial(x,y)partial(u,v)gr| = l|det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v r| = l|det -,tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 r| = tfrac12
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dx,dy = tfrac12,du,dv

Passo 3

A região R em coordenadas (u,v) é dada por
1 <= v <= 2
(pois v=y+x varia de 1 a 2) e, como x>=0 e y>=0, obtemos
-v <= u <= v
Portanto
Ruv = (u,v)mid 1<= v<=2,;-v<= u<= v

Passo 4

A integral passa a ser
integral duplaRcos!l(tfracpi u4vr),dy,dx = integralv=1^2!integralu=-v^v cos!l(tfracpi u4vr),l(tfrac12,du,dvr) = tfrac12!integral1^2!integral-v^vcos!l(tfracpi u4vr),du,dv

Passo 5

Para a integral interna em u, use que cos é par:
integral-v^vcos!l(tfracpi u4vr),du = 2integral0^vcos!l(tfracpi u4vr),du
Uma primitiva é
integralcos!l(tfracpi u4vr),du = 4vpi,sin!l(tfracpi u4vr),
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2integral0^vcos!l(tfracpi u4vr),du = 2cdot4vpil[sin!l(tfracpi u4vr)r]0^v = 8vpi,sin!l(tfracpi4r) = 8vpi,raiz22 = 4raiz2pi,v
Substituindo na integral total:
tfrac12!integral1^24raiz2pi,v,dv = 2raiz2piintegral1^2v,dv

Passo 6

Calcule a integral em v:
integral1^2v,dv = l[tfracv^22r]1^2 = 4-12 = 32
Assim a integral total é
2raiz2picdot32 = 3raiz2pi

Resposta

boxed3raiz2pi

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