Calcule usando mudança de coordenadas:
, onde
é a região do
quadrante limitada pelas retas
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a parte do
º quadrante limitada pelas retas
e
.
Perceba que a função depende apenas de e
, então uma mudança de variáveis
Perceba que a função depende apenas de
é natural. Vamos usar essa transformação para simplificar a integral.
Passo 2
Expressando
e
em função de
e
, temos
O jacobiano da transformação
é
Logo
Passo 3
A região
R em coordenadas
(u,v) é dada por
(pois
v=y+x varia de
1 a
2 ) e, como
x>=0 e
y>=0 , obtemos
Portanto
Passo 4
A integral passa a ser
Passo 5
Para a integral interna em
u , use que
cos é par:
Uma primitiva é
logo
Substituindo na integral total:
Passo 6
Calcule a integral em
v :
Assim a integral total é