Determine se cada uma das seguintes funçöes é soluçio da equaçåo de Laplace un+un=0.
u=e^-t cos y-e^-y cos x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,y)=e^-xcos y ;-; e^-ycos x
é solução da equação de Laplace em duas variáveis, isto é, se
partial^2 upartial x^2 ;+;partial^2 upartial y^2=0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em x e em y e somá-las.

Passo 2

Calcular partial^2 upartial x^2. Primeiro achamos ux:
u(x,y)=A(x,y)+B(x,y), A=e^-xcos y, B=-,e^-ycos x
Então
Ax=-e^-xcos y, Bx=-l(-e^-ysin xr)=e^-ysin x,
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ux=-e^-xcos y+e^-ysin x
Derivando de novo em x,
l(-e^-xcos yr)x = e^-xcos y, l(e^-ysin xr)x = e^-ycos x,
portanto
partial^2 upartial x^2 = e^-xcos y ;+; e^-ycos x

Passo 3

Calcular partial^2 upartial y^2. Começamos por uy:
Ay=-e^-xsin y, By=-l(-e^-ycos xr) = e^-ycos x,
então
uy=-e^-xsin y+e^-ycos x
Derivando de novo em y,
l(-e^-xsin yr)y = -e^-xcos y, l(e^-ycos xr)y = -e^-ycos x,
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partial^2 upartial y^2 = -e^-xcos y ;-; e^-ycos x

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas,
partial^2 upartial x^2 +partial^2 upartial y^2 =l(e^-xcos y+e^-ycos xr) +l(-e^-xcos y-e^-ycos xr) =0
Como a laplaciana de u é zero, u é harmônica.

Resposta

A função u(x,y)=e^-xcos y - e^-ycos x satisfaz
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2=0,
portanto é solução da equação de Laplace.

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