Determine se cada uma das seguintes funçöes é soluçio da equaçåo de Laplace
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace em duas variáveis, isto é, se
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em
e em
e somá-las.
Passo 2
Calcular
. Primeiro achamos
:
Então
logo
Derivando de novo em
,
portanto
Passo 3
Calcular
. Começamos por
:
então
Derivando de novo em
,
logo
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas,
Como a laplaciana de
é zero,
é harmônica.
Resposta
A função
satisfaz
portanto é solução da equação de Laplace.