Resolva o problema de valor inicial dado.
y^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=2 e^x+4 e^-x, y(0)=1, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=-3

Passo 1

O problema é a EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes
y''' - 2y'' + y' = 2e^x + 4e^-x,
sujeita a
y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=-3
Para resolver, vamos separar em solução homogênea (via equação característica), solução particular (método dos coeficientes a determinar) e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y''' - 2y'' + y' = 0
A equação característica é
r^3 - 2r^2 + r = r,(r^2 - 2r +1) = r,(r-1)^2 = 0,
cujas raízes são r=0 e r=1 (dupla). Logo
yh(x) = C1 + C2 e^x + C3,x e^x

Passo 3

Para a solução particular, note que o termo 2e^x gera ressonância dupla em r=1, então tentamos
yp1 = A,x^2 e^x,
e para 4e^-x (pois r=-1 não é raiz) tentamos
yp2 = C,e^-x
Logo
yp = A x^2 e^x + C e^-x
Calculando derivadas e substituindo em y''' -2y'' + y'
y''' -2y'' + y' = 2A,e^x -4C,e^-x
Igualando a 2e^x + 4e^-x obtemos
2A = 2 implies A=1, -4C = 4 implies C = -1
Assim
yp(x) = x^2 e^x - e^-x

Passo 4

A solução geral é
y(x) = C1 + C2 e^x + C3 x e^x + x^2 e^x - e^-x
Agora calculamos y(0), y'(0) e y''(0):
y(0) = C1 + C2 -1 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = 2
Derivando e avaliando em 0 (detalhes de cálculo omitidos por brevidade) obtemos
y'(0) = C2 + C3 +1 = 2 Longrightarrow C2 + C3 = 1,
y''(0) = C2 + 2C3 +1 = -3 Longrightarrow C2 + 2C3 = -4

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, C2 + C3 = 1, C2 + 2C3 = -4,
vemos que C3 = -5, C2 = 6 e então C1 = -4.

Resposta

boxedy(x) = -4 + 6e^x -5x e^x + x^2 e^x - e^-x

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