Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
. O ponto de interesse é
. Não há outras condições adicionais no enunciado.
Informações dadas: o numerador é
Passo 2
Vamos primeiro verificar o tipo de indeterminação olhando os limites separados:
e
.
Portanto a expressão tem a forma , que é uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito.
Portanto a expressão tem a forma
Passo 3
Quando temos uma indeterminação do tipo
, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo e a derivada do denominador não seja zero próximo do ponto). O teorema diz que
se a forma for indeterminada e o limite do quociente das derivadas existir (ou for ±∞).
se a forma for indeterminada e o limite do quociente das derivadas existir (ou for ±∞).
Passo 4
Calculemos as derivadas das duas funções:
- Derivada de
é . Aqui usamos a regra básica: a derivada do log natural é o inverso da variável. - Derivada de
é . Aqui usamos a regra da cadeia: se então .
Pelo teorema de L’Hospital,
Passo 5
Simplificando o quociente das derivadas obtemos
Agora analisamos o limite
.
O denominador cresce sem limite quando
(porque
e multiplicar por
mantém o crescimento para
). Assim o quociente tende a
.
Agora analisamos o limite
O denominador
Resposta
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