Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{e^{3 x}}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{e^{3x}}.
Informações dadas: o numerador é \ln(x) e o denominador é e^{3x}. O ponto de interesse é x\to +\infty. Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o tipo de indeterminação olhando os limites separados:
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^{3x}=+\infty.
Portanto a expressão tem a forma \displaystyle \frac{+\infty}{+\infty}, que é uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação do tipo \displaystyle \frac{+\infty}{+\infty}, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo e a derivada do denominador não seja zero próximo do ponto). O teorema diz que
\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se a forma for indeterminada e o limite do quociente das derivadas existir (ou for ±∞).

Passo 4

Calculemos as derivadas das duas funções:
  • Derivada de \ln(x) é \displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}. Aqui usamos a regra básica: a derivada do log natural é o inverso da variável.
  • Derivada de e^{3x} é \displaystyle \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}. Aqui usamos a regra da cadeia: se u(x)=3x então \frac{d}{dx}e^{u}=u' e^{u}=3e^{3x}.
Pelo teorema de L’Hospital,
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{e^{3x}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{3e^{3x}}.

Passo 5

Simplificando o quociente das derivadas obtemos
\displaystyle \frac{\frac{1}{x}}{3e^{3x}}=\frac{1}{3x e^{3x}}.
Agora analisamos o limite
\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{3x e^{3x}}.
O denominador 3x e^{3x} cresce sem limite quando x\to+\infty (porque e^{3x}\to+\infty e multiplicar por x mantém o crescimento para +\infty). Assim o quociente tende a 0.

Resposta

0

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