Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A variável x tende para 0 pela direita, ou seja \;x\to0^{+}\; e sempre temos x>0 perto de 0.
  • Quando x\to0^{+}, temos \ln x \to -\infty.
  • Quando x\to0^{+}, temos x\to0^{+}.
  • Portanto o produto \;x\ln x\; tem a forma 0\cdot(-\infty), que é uma forma indeterminada — não dá para concluir o valor do limite só com isso.

Passo 2

Vamos usar a regra de L’Hospital (o enunciado pediu isso). Primeiro, um lembrete didático sobre a regra de L’Hospital, explicado de forma simples:
  • A regra de L’Hospital trata limites de quocientes que têm forma indeterminada do tipo 0/0 ou \infty/\infty.
  • Para aplicá-la, escrevemos o limite como \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}, onde f e g são diferenciáveis num intervalo próximo de a (exceto talvez em a), e g'(x)\neq0 nesse intervalo.
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, ou ambos tendem a \pm\infty, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (finito ou \pm\infty).
  • Em palavras: quando temos 0/0 ou \infty/\infty, podemos derivar cima e baixo e tentar o limite novamente.

Passo 3

Transformamos o produto em quociente para poder usar L’Hospital. Escrevemos
x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
Agora analisamos o comportamento das partes quando x\to0^{+}:
  • \ln x \to -\infty.
  • \dfrac{1}{x}\to +\infty.
    Logo o quociente toma a forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, que é do tipo \infty/\infty (indeterminada) e permite aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador separadamente.
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Pelo L’Hospital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 5

Simplificamos a expressão das derivadas passo a passo:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{x}\cdot\frac{-x^{2}}{1} = -x.
Portanto, pela L’Hospital, o limite original é igual a
\lim_{x\to0^{+}} -x.

Passo 6

Calculamos o limite simples:
\lim_{x\to0^{+}} -x = 0.
Logo o limite pedido é 0.

Resposta

0

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