Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A variável
tende para pela direita, ou seja e sempre temos perto de . - Quando
, temos . - Quando
, temos . - Portanto o produto
tem a forma , que é uma forma indeterminada — não dá para concluir o valor do limite só com isso.
Passo 2
Vamos usar a regra de L’Hospital (o enunciado pediu isso). Primeiro, um lembrete didático sobre a regra de L’Hospital, explicado de forma simples:
- A regra de L’Hospital trata limites de quocientes que têm forma indeterminada do tipo
ou . - Para aplicá-la, escrevemos o limite como
, onde e são diferenciáveis num intervalo próximo de (exceto talvez em ), e nesse intervalo. - Se
e , ou ambos tendem a , então
desde que o limite à direita exista (finito ou
).
- Em palavras: quando temos
ou , podemos derivar cima e baixo e tentar o limite novamente.
Passo 3
Transformamos o produto em quociente para poder usar L’Hospital. Escrevemos
Agora analisamos o comportamento das partes quando
:
-
. -
.
Logo o quociente toma a forma, que é do tipo (indeterminada) e permite aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital: derivamos numerador e denominador separadamente.
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Pelo L’Hospital,
Passo 5
Simplificamos a expressão das derivadas passo a passo:
Portanto, pela L’Hospital, o limite original é igual a
Passo 6
Calculamos o limite simples:
Logo o limite pedido é
.