Calcule utilizando L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que vamos usar:
O que se quer: calcular o limite quando
tende a
.
Passo 2
Primeira coisa que fazemos ao ver um limite é tentar a substituição direta para detectar indeterminações. Substituindo
no numerador:
Substituindo
no denominador:
Portanto a forma é
, uma indeterminação. Quando temos
podemos pensar em usar a regra de L’Hospital (mas ainda não a aplicamos).
Passo 3
Explicando a regra de L’Hospital (de forma didática):
A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite e ao substituirmos
obtemos
ou
, e se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
próximo de
, então
A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite
desde que o limite à direita exista (finito ou infinito). Em palavras: podemos derivar numerador e denominador separadamente e calcular o limite da nova razão.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital: precisamos das derivadas do numerador e do denominador. Vou explicar a regra usada para derivar (regra do poder):
A derivada de é
. A derivada de uma constante é
. A derivada de
é
vezes a derivada de
.
A derivada de
Derivando termo a termo o numerador
:
Logo a derivada do numerador é
Derivando o denominador
:
então a derivada do denominador é
Passo 5
Pelo passo anterior e pela regra de L’Hospital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
Passo 6
Agora avaliamos a nova expressão por substituição direta em
(verificamos se não há nova indeterminação):
Calculando o numerador em :
Calculando o numerador em
Calculando o denominador em
:
Não é indeterminado: o valor da razão é
. Portanto o limite existe e vale
.
Passo 7
Conclusão final e motivação: usamos L’Hospital porque a substituição direta deu
. Derivamos numerador e denominador usando a regra do poder e avaliamos a nova razão no ponto. Como obtivemos um número finito, esse é o valor do limite.