Calcule utilizando L’Hospital.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4 x^{3}+x^{2}+3}{x^{5}+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -1}\frac{4x^{3}+x^{2}+3}{x^{5}+1}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{numerador} = 4x^{3}+x^{2}+3, \qquad \text{denominador} = x^{5}+1.
O que se quer: calcular o limite quando x tende a -1.

Passo 2

Primeira coisa que fazemos ao ver um limite é tentar a substituição direta para detectar indeterminações. Substituindo x=-1 no numerador:
4(-1)^{3}+(-1)^{2}+3 = 4(-1)+1+3 = -4+1+3 = 0.
Substituindo x=-1 no denominador:
(-1)^{5}+1 = -1+1 = 0.
Portanto a forma é \frac{0}{0}, uma indeterminação. Quando temos \frac{0}{0} podemos pensar em usar a regra de L’Hospital (mas ainda não a aplicamos).

Passo 3

Explicando a regra de L’Hospital (de forma didática):
A regra de L’Hospital diz que, se temos um limite \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} e ao substituirmos x=a obtemos \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (finito ou infinito). Em palavras: podemos derivar numerador e denominador separadamente e calcular o limite da nova razão.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital: precisamos das derivadas do numerador e do denominador. Vou explicar a regra usada para derivar (regra do poder):
A derivada de x^{n} é n x^{n-1}. A derivada de uma constante é 0. A derivada de c\cdot x^{n} é c vezes a derivada de x^{n}.
Derivando termo a termo o numerador 4x^{3}+x^{2}+3:
\frac{d}{dx}(4x^{3}) = 4\cdot 3x^{2} = 12x^{2},
\frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,
\frac{d}{dx}(3) = 0.
Logo a derivada do numerador é
f'(x)=12x^{2}+2x.
Derivando o denominador x^{5}+1:
\frac{d}{dx}(x^{5}) = 5x^{4}, \qquad \frac{d}{dx}(1)=0,
então a derivada do denominador é
g'(x)=5x^{4}.

Passo 5

Pelo passo anterior e pela regra de L’Hospital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
\lim_{x\to -1}\frac{4x^{3}+x^{2}+3}{x^{5}+1} = \lim_{x\to -1}\frac{12x^{2}+2x}{5x^{4}}.

Passo 6

Agora avaliamos a nova expressão por substituição direta em x=-1 (verificamos se não há nova indeterminação):
Calculando o numerador em -1:
12(-1)^{2}+2(-1)=12\cdot 1 -2 = 12-2 = 10.
Calculando o denominador em -1:
5(-1)^{4}=5\cdot 1 = 5.
Não é indeterminado: o valor da razão é \frac{10}{5}=2. Portanto o limite existe e vale 2.

Passo 7

Conclusão final e motivação: usamos L’Hospital porque a substituição direta deu 0/0. Derivamos numerador e denominador usando a regra do poder e avaliamos a nova razão no ponto. Como obtivemos um número finito, esse é o valor do limite.

Resposta

2

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