Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de Frações Parciais. Esse método é útil quando a gente tem uma fração onde o numerador tem um grau menor que o denominador, e o denominador pode ser fatorado em expressões mais simples. Aqui, nosso conteúdo envolve integrais e decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar nossa fração como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 3
Agora, queremos escrever a fração
como a soma de duas frações mais simples. Vamos assumir que ela pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 5
Agora, vamos expandir e organizar a expressão do lado direito:
Passo 6
Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para
:
Para os termos constantes:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Como
, então
também.
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 9
Simplificando as frações:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Integrando cada termo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: