Calcule utilizando o método de Frações Parciais.
integral 3 xx^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3xx^2-4 , dx usando o método de Frações Parciais. Esse método é útil quando a gente tem uma fração onde o numerador tem um grau menor que o denominador, e o denominador pode ser fatorado em expressões mais simples. Aqui, nosso conteúdo envolve integrais e decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar nossa fração como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, queremos escrever a fração 3x(x - 2)(x + 2) como a soma de duas frações mais simples. Vamos assumir que ela pode ser escrita da seguinte forma:
3x(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 2)(x + 2):
3x = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 5

Agora, vamos expandir e organizar a expressão do lado direito:
3x = A x + 2A + B x - 2B
3x = (A + B)x + (2A - 2B)

Passo 6

Agora, vamos comparar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação:
Para x:
A + B = 3
Para os termos constantes:
2A - 2B = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
Primeira equação:
A + B = 3
Segunda equação:
2A - 2B = 0 implies A = B
Substituindo A = B na primeira equação:
A + A = 3 implies 2A = 3 implies A = 32
Como A = B, então B = 32 também.

Passo 8

Agora que temos A = 32 e B = 32, podemos reescrever a fração original:
3xx^2-4 = 32x - 2 + 32x + 2

Passo 9

Simplificando as frações:
3xx^2-4 = 32(1x - 2 + 1x + 2)

Passo 10

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 3xx^2-4 , dx = 32integral (1x - 2 + 1x + 2) , dx

Passo 11

Integrando cada termo:
32 ( ln|x - 2| + ln|x + 2| ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral 3xx^2-4 , dx é igual a:
32 ln|x - 2| + 32 ln|x + 2| + C

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