Questão 1. (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio e o contra-domínio da função inversa da função dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e contra-domínio, além de como encontrar a função inversa. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função
, temos logaritmos, e sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Então, precisamos que:
Resolvendo essas desigualdades:
A interseção dessas duas condições é
. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar se a função
é injetora, ou seja, se cada valor de
corresponde a apenas um valor de
. Se for o caso, podemos encontrar a função inversa.
Vamos analisar a derivada de
para verificar se ela é sempre crescente ou decrescente:
Simplificando:
Como
, o denominador
é positivo, então
para todo
. Isso significa que a função é estritamente crescente no seu domínio, ou seja, é injetora e, portanto, possui uma função inversa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função inversa
. Para isso, vamos trocar
por
e resolver para
:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dos logaritmos usando a propriedade
:
Agora, isolamos o logaritmo:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Agora, vamos resolver para
:
Distribuindo o
:
Agora, vamos separar os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Portanto, a função inversa é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio e o contra-domínio da função inversa
.
Domínio de
: O domínio da função inversa é o conjunto imagem da função original
. Como
é estritamente crescente e definida para
, podemos encontrar o limite da função quando
tende para
e para
:
Então, o domínio de
é
e
, ou seja,
.
Contra-domínio de
: O contra-domínio da função inversa é o domínio da função original, que é
.
Resposta
O domínio da função inversa
é
e o contra-domínio é
.