Questão 1. ( 1 , 5 p t s ) D e t e r m i n e o d o m i ́ n i o e o c o n t r a - d o m i ́ n i o d a f u n c ̧ a ̃ o i n v e r s a , s e e x i s t i r , d e ̧
f(x)=ln (x-2)-ln (x+2)+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o domínio e o contra-domínio da função inversa da função dada:
f(x) = ln(x - 2) - ln(x + 2) + 2
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio e contra-domínio, além de como encontrar a função inversa. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso da função f(x) , temos logaritmos, e sabemos que o argumento do logaritmo deve ser positivo. Então, precisamos que:
x - 2 > 0 e x + 2 > 0
Resolvendo essas desigualdades:
x > 2 e x > -2
A interseção dessas duas condições é x > 2 . Portanto, o domínio de f(x) é x > 2 .

Passo 3

Agora, vamos determinar se a função f(x) é injetora, ou seja, se cada valor de f(x) corresponde a apenas um valor de x . Se for o caso, podemos encontrar a função inversa.
Vamos analisar a derivada de f(x) para verificar se ela é sempre crescente ou decrescente:
f'(x) = 1x - 2 - 1x + 2
Simplificando:
f'(x) = (x + 2) - (x - 2)(x - 2)(x + 2) = 4x^2 - 4
Como x > 2 , o denominador x^2 - 4 é positivo, então f'(x) > 0 para todo x > 2 . Isso significa que a função é estritamente crescente no seu domínio, ou seja, é injetora e, portanto, possui uma função inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função inversa f^-1(y) . Para isso, vamos trocar f(x) por y e resolver para x :
y = ln(x - 2) - ln(x + 2) + 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dos logaritmos usando a propriedade ln a - ln b = ln(ab) :
y = ln(x - 2x + 2) + 2
Agora, isolamos o logaritmo:
y - 2 = ln(x - 2x + 2)
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
e^y - 2 = x - 2x + 2
Agora, vamos resolver para x :
e^y - 2(x + 2) = x - 2
Distribuindo o e^y - 2 :
e^y - 2 cdot x + 2e^y - 2 = x - 2
Agora, vamos separar os termos com x :
e^y - 2 cdot x - x = -2 - 2e^y - 2
Fatorando x :
x(e^y - 2 - 1) = -2(1 + e^y - 2)
Finalmente, isolamos x :
x = -2(1 + e^y - 2)e^y - 2 - 1 = 2(1 + e^y - 2)1 - e^y - 2
Portanto, a função inversa é:
f^-1(y) = 2(1 + e^y - 2)1 - e^y - 2

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio e o contra-domínio da função inversa f^-1(y) .
Domínio de f^-1(y) : O domínio da função inversa é o conjunto imagem da função original f(x) . Como f(x) é estritamente crescente e definida para x > 2 , podemos encontrar o limite da função quando x tende para 2 e para +infty :
limx to 2^+ f(x) = ln(0^+) - ln(4) + 2 = -infty
limx to +infty f(x) = ln(+infty) - ln(+infty) + 2 = 2
Então, o domínio de f^-1(y) é y > -infty e y < 2 , ou seja, y < 2 .
Contra-domínio de f^-1(y) : O contra-domínio da função inversa é o domínio da função original, que é x > 2 .

Resposta

O domínio da função inversa f^-1(y) é y < 2 e o contra-domínio é x > 2 .

Exercícios relacionados