Calcule, utilizando o método de Laplace, o determinante da matriz
matriz 4 \times 4 :
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & -2 & 1 & 3 \\\\ 2 & 1 & 4 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pelo método de Laplace (expansão em menores), o determinante da matriz 4\times4
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1\\\\ 3 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & -2 & 1 & 3\\\\ 2 & 1 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é determinante de matriz por expansão em cofatores (menores complementares).

Passo 2

Escolhemos expandir pela primeira linha, pois ela tem um zero facilitando os cálculos. Pela fórmula de Laplace sobre a linha 1:
\det(B) = \sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}\,b_{1j}\,M_{1j} = b_{11}M_{11}-b_{12}M_{12}+b_{13}M_{13}-b_{14}M_{14}.
Como b_{12}=0, fica
\det(B)=1\cdot M_{11}+2\cdot M_{13}+(-1)\cdot(-1)^{1+4}M_{14} = M_{11}+2\,M_{13}+M_{14}.

Passo 3

Calculamos o menor M_{11}, que é o determinante da submatriz obtida eliminando linha 1 e coluna 1:
M_{11} =\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -2 & 1 & 3\\\\ 1 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Expandindo em cofatores nesta 3\times3:
M_{11} =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 4&0\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&4\end{pmatrix} =1(1\cdot0-3\cdot4)+2((-2)\cdot4-1\cdot1) =-12+2(-9)=-30.

Passo 4

Calculamos o menor M_{13}, eliminando linha 1 e coluna 3:
M_{13} =\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\\\ 0 & -2 & 3\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Pela expansão na primeira linha dessa 3\times3:
M_{13} =3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&3\\\ 1&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&3\\\ 2&0\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}0&-2\\\ 2&1\end{pmatrix} =3(0-3)+(-1)(0-6)+2(0-(-4)) =-9+6+8=5.

Passo 5

Calculamos o menor M_{14}, eliminando linha 1 e coluna 4:
M_{14} =\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Expandindo na primeira linha:
M_{14} =3\cdot\det\begin{pmatrix}-2&1\\\ 1&4\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&4\end{pmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =3((-2)\cdot4-1\cdot1)-1(0-2) =3(-9)+2=-27+2=-25.

Passo 6

Agora reunimos os cofatores:
\det(B)=M_{11}+2\,M_{13}+M_{14} =-30+2\cdot5+(-25) =-30+10-25=-45.

Resposta

\det(B)=-45

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