Resolver a equação:
\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & x \\\\ 1 & -2 & x \\\\ 2 & -1 & x \end{array}\right|=8

Passo 1

Resumindo o enunciado: devemos achar os valores de x que satisfazem a equação
\begin{vmatrix} 3 & 2 & x \\\\ 1 & -2 & x \\\\ 2 & -1 & x \end{vmatrix} = 8.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e resolução da equação resultante em x. Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha.

Passo 2

Expandindo o determinante pela primeira linha, temos
\begin{vmatrix} 3 & 2 & x \\\\ 1 & -2 & x \\\\ 2 & -1 & x \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & x \\\\ -1 & x \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\\\ 2 & x \end{vmatrix} + x \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\\\ 2 & -1 \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos cada determinante de ordem 2:
\begin{vmatrix}-2 & x \\\\ -1 & x\end{vmatrix} = (-2)\cdot x - (x)\cdot(-1) = -2x + x = -x,
\begin{vmatrix}1 & x \\\\ 2 & x\end{vmatrix} = 1\cdot x - x\cdot2 = -x,
\begin{vmatrix}1 & -2 \\\\ 2 & -1\end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - (-2)\cdot2 = -1 + 4 = 3.
Substituindo na expansão, o determinante fica
3\cdot(-x) - 2\cdot(-x) + x\cdot 3 = -3x + 2x + 3x = 2x.

Passo 4

Igualando ao lado direito da equação, obtemos
2x = 8
e daí
x = 4.

Resposta

x = 4

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