(2) Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int\bigl(x + \frac{3}{x-2}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de soma de funções e uso de mudança de variável para a parte racional.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral, separando em duas parcelas:
\int\bigl(x + \tfrac{3}{x-2}\bigr)\,dx = \int x\,dx \;+\; 3\int \frac{1}{x-2}\,dx.

Passo 3

Para \int x\,dx, usamos a regra da integral de potência: a primitiva de x é
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Para 3\int \tfrac{1}{x-2}\,dx, fazemos a mudança de variável
u = x - 2, \qquad du = dx.
Substituindo,
3\int \frac{1}{x-2}\,dx = 3\int \frac{1}{u}\,du = 3\ln\lvert u\rvert = 3\ln\lvert x-2\rvert.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^2}{2} + 3\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^2}{2} + 3\ln\lvert x-2\rvert + C

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