(3) Calcule
\int t^{2} e^{-s t} d t, sendo s \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int t^{2}e^{-s t}\,dt,
onde s\neq0. O método mais direto aqui é usar integração por partes duas vezes, reduzindo o grau de t a cada passo.

Passo 2

Primeira integração por partes: escolha
u = t^{2},\quad dv = e^{-s t}\,dt.
Então
du = 2t\,dt,\quad v = -\frac{1}{s}e^{-s t}.
Logo
\int t^{2}e^{-s t}\,dt = uv - \int v\,du = -\frac{t^{2}e^{-s t}}{s} + \frac{2}{s}\int t\,e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Agora precisamos de
\int t\,e^{-s t}\,dt.
Fazendo outra integração por partes com
u = t,\quad dv = e^{-s t}\,dt
vem
du = dt,\quad v = -\frac{1}{s}e^{-s t},
e assim
\int t\,e^{-s t}\,dt = -\frac{t\,e^{-s t}}{s} + \frac{1}{s}\int e^{-s t}\,dt = -\frac{t\,e^{-s t}}{s} - \frac{1}{s^{2}}\,e^{-s t} + C_{1}.

Passo 4

Substituindo de volta em \displaystyle -\frac{t^{2}e^{-s t}}{s} + \frac{2}{s}\int t\,e^{-s t}\,dt, obtemos
\int t^{2}e^{-s t}\,dt = -\frac{t^{2}e^{-s t}}{s} + \frac{2}{s}\Bigl(-\frac{t\,e^{-s t}}{s} - \frac{e^{-s t}}{s^{2}}\Bigr) + C.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador e fatorando e^{-s t}, teremos a forma final.

Passo 5

Ao simplificar, chega-se a
\int t^{2}e^{-s t}\,dt = -\frac{\bigl(s^{2}t^{2}+2s\,t+2\bigr)\,e^{-s t}}{s^{3}} + C.

Resposta

\int t^{2}e^{-s t}\,dt = -\frac{\bigl(s^{2}t^{2}+2s\,t+2\bigr)\,e^{-s t}}{s^{3}} + C.

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