Calcule um valor aproximado para
utilizando a aproximação linear. Compare com o resultado de sua calculadora (Note que o argumento está em graus).
Passo 1
O enunciado pede: calcular um valor aproximado para
usando a aproximação linear e comparar esse valor com o resultado da calculadora.
Informações dadas: o ângulo está em graus e é , isto é um deslocamento de
em relação a
.
Informações dadas: o ângulo está em graus e é
Passo 2
O que é aproximação linear (explicação breve e didática): se temos uma função
e um ponto próximo
, podemos aproximar
por uma reta tangente em
. A fórmula é
onde
é a derivada de
em
(a inclinação da reta tangente) e
é o pequeno deslocamento. Aqui:
é a função que queremos aproximar e
deve ser medido em radianos quando a função trigonométrica é diferenciada.
Passo 3
Aplicando ao problema: definimos
com
em radianos. Escolhemos o ponto base
Calculemos
e
:
A derivada de
é
, então
Como
, temos
e, portanto,
Passo 4
Converter o deslocamento para radianos: o ângulo que queremos é
, logo o deslocamento em graus é
. Em radianos:
Uma aproximação numérica para
usando
é
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da aproximação linear:
Substituindo os valores encontrados:
Avaliação numérica (usando
):
portanto
Passo 6
Comparação com o valor “exato” (calculadora): usando calculadora científica (ou a fórmula exata
com
e
), obtém-se
Calculemos o erro absoluto e relativo aproximados:
Passo 7
Interpretação didática do erro: o motivo do pequeno erro é que desprezamos os termos de ordem superior da série de Taylor. O termo de segunda ordem seria aproximadamente
; para
temos
, então em
vale
. Assim o termo de segunda ordem é aproximadamente
que é praticamente a diferença observada entre a aproximação linear e o valor da calculadora. Conclusão: a aproximação linear funcionou muito bem aqui porque o deslocamento é pequeno.
Resposta
Aproximação linear:
Valor da calculadora:
Erro absoluto (aprox.):
Valor da calculadora:
Erro absoluto (aprox.):