Calcule um valor aproximado para \tan \left(45,1^{\circ}\right) utilizando a aproximação linear. Compare com o resultado de sua calculadora (Note que o argumento está em graus).

Passo 1

O enunciado pede: calcular um valor aproximado para \tan\left(45,1^\circ\right) usando a aproximação linear e comparar esse valor com o resultado da calculadora.
Informações dadas: o ângulo está em graus e é \,45,1^\circ, isto é um deslocamento de \,0,1^\circ em relação a \,45^\circ.

Passo 2

O que é aproximação linear (explicação breve e didática): se temos uma função f(x) e um ponto próximo x_0, podemos aproximar f(x) por uma reta tangente em x_0. A fórmula é
f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0),
onde f'(x_0) é a derivada de f em x_0 (a inclinação da reta tangente) e (x-x_0) é o pequeno deslocamento. Aqui: f(x) é a função que queremos aproximar e x deve ser medido em radianos quando a função trigonométrica é diferenciada.

Passo 3

Aplicando ao problema: definimos f(x)=\tan(x) com x em radianos. Escolhemos o ponto base
x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}.
Calculemos f(x_0) e f'(x_0):
f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
A derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x, então
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x\quad\Rightarrow\quad f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Como \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} e, portanto,
f'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2=2.

Passo 4

Converter o deslocamento para radianos: o ângulo que queremos é \,45,1^\circ, logo o deslocamento em graus é \Delta\theta=0,1^\circ. Em radianos:
\Delta x=\Delta\theta\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{0,1\pi}{180}=\frac{\pi}{1800}.
Uma aproximação numérica para \frac{\pi}{1800} usando \pi\approx 3{,}14159265 é
\frac{\pi}{1800}\approx 0{,}00174532925.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da aproximação linear:
\tan\!\left(45,1^\circ\right)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}+\Delta x\right)\approx \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\tan'\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\Delta x.
Substituindo os valores encontrados:
\tan\!\left(45,1^\circ\right)\approx 1 + 2\cdot\frac{\pi}{1800}=1+\frac{\pi}{900}.
Avaliação numérica (usando \pi\approx 3{,}14159265):
\frac{\pi}{900}\approx 0{,}0034906585,
portanto
\tan\!\left(45,1^\circ\right)\approx 1{,}0034906585\quad(\text{aproximação linear}).çã

Passo 6

Comparação com o valor “exato” (calculadora): usando calculadora científica (ou a fórmula exata \tan(a+h)=\dfrac{\tan a+\tan h}{1-\tan a\cdot\tan h} com a=\pi/4 e h=\pi/1800), obtém-se
\tan\!\left(45,1^\circ\right)\approx 1{,}0034967634\quad(\text{valor da calculadora}).
Calculemos o erro absoluto e relativo aproximados:
\text{erro absoluto}\approx 1{,}0034967634-1{,}0034906585\approx 0{,}0000061049,
\text{erro relativo}\approx \frac{0{,}0000061049}{1{,}0034967634}\approx 6{,}08\times 10^{-6}\\ (\approx 0{,}000608\%).

Passo 7

Interpretação didática do erro: o motivo do pequeno erro é que desprezamos os termos de ordem superior da série de Taylor. O termo de segunda ordem seria aproximadamente \tfrac{1}{2}f''(x_0)\Delta x^2; para f(x)=\tan x temos f''(x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x, então em x_0=\pi/4 vale f''(x_0)=4. Assim o termo de segunda ordem é aproximadamente
\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\left(\frac{\pi}{1800}\right)^2=2\left(\frac{\pi}{1800}\right)^2\approx 6{,}09\times 10^{-6},
que é praticamente a diferença observada entre a aproximação linear e o valor da calculadora. Conclusão: a aproximação linear funcionou muito bem aqui porque o deslocamento é pequeno.

Resposta

Aproximação linear: 1{,}0034906585
Valor da calculadora: 1{,}0034967634
Erro absoluto (aprox.): 0{,}0000061049

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