É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 43 e 78 anos, e observou em cada uma delas a idade
e a massa muscular (
).
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64
43
67
56
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68
56
76
65
45
58
45
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73
68
82
91
100
68
87
73
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80
65
84
116
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97
100
105
77
73
78
a) Obtenha a equação da regressão linear simples, interpretando os coeficientes da mesma;
a) Obter o coeficiente de determinação linear simples;
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71 | 64 | 43 | 67 | 56 | 73 | 68 | 56 | 76 | 65 | 45 | 58 | 45 | 53 | 49 | 78 | 73 | 68 |
|
|
82 | 91 | 100 | 68 | 87 | 73 | 78 | 80 | 65 | 84 | 116 | 76 | 97 | 100 | 105 | 77 | 73 | 78 |
a) Obter o coeficiente de determinação linear simples;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Obter a equação da regressão linear simples entre idade
e massa muscular e interpretar os coeficientes dessa equação. - Obter o coeficiente de determinação da regressão (ou seja,
).
Dados fornecidos (peguei todos os pares
da tabela do enunciado):
Vou usar esses dados para calcular as somas e as estatísticas necessárias e, a partir delas, obter a reta de regressão e
.]
Passo 2
Primeiro calculamos alguns totais que aparecem nas fórmulas da regressão:
Somei os
, os
, os
e os
. Os resultados (obtidos somando os termos da tabela) são:
Passo 3
Calculo das médias amostrais (muito importante:
e
aparecem nas fórmulas):
Explicação curta:
é a idade média do grupo e
é a massa muscular média.
Passo 4
Apresento as fórmulas básicas da regressão linear simples (vou explicar o que cada símbolo significa):
- A reta ajustada tem forma
, onde é o intercepto (valor previsto de quando ) e é a inclinação ou coeficiente angular (variação esperada em quando aumenta 1 unidade). - Para obter
e usamos:
Explicação:
mede a variação dos
em torno da média;
mede a covariação entre
e
. O quociente dá a inclinação da melhor reta em quadrados mínimos.
Passo 5
Calculo de
e
substituindo os totais:
Calculo interno:
. Logo
Agora
:
Calculo interno:
e
. Assim
Passo 6
Agora a inclinação
:
Arredondando para três casas decimais (próximo ao nível de precisão que se usa em prova):
Interpretação da inclinação (agora didática): isso significa que, segundo o modelo linear ajustado, ao aumentarmos a idade em uma unidade (um ano), a massa muscular média esperada diminui cerca de
unidades (as mesmas unidades de
) — ou seja, aproximadamente uma perda de
por ano, em média, segundo os dados.
Passo 7
Cálculo do intercepto
:
Arredondando:
Interpretação do intercepto: numericamente,
representa o valor previsto de
quando
. No nosso contexto significa “massa muscular prevista para idade zero”, que é uma extrapolação fora da faixa de dados (as idades observadas estão entre 43 e 78), portanto esse valor não tem interpretação prática real, mas é necessário para a equação da reta.
Passo 8
Escrevo a equação da reta de regressão (com os coeficientes arredondados):
Explicação resumida: usar essa reta significa que para uma mulher de idade
anos a previsão da massa muscular é dada por
conforme a fórmula; o coeficiente angular negativo confirma que a massa tende a diminuir com a idade.
Passo 9
Agora calculamos o coeficiente de determinação
. Primeiro precisamos de
:
(Para isso somei os
dos dados:
.)
Fórmula prática para
na regressão linear simples:
Substituindo:
Arredondando para três casas decimais:
Interpretação do
: cerca de
da variação observada na massa muscular
é explicada pela variação da idade
segundo o modelo linear ajustado. O restante (aprox.
) é explicado por outras variáveis ou por variação aleatória.
Passo 10
Resumo prático para a prova (rápido e direto):
- Calcule
; - calcule
; - obtenha
e então e ; - para
use e a fórmula acima.
Você já tem todos os números necessários e a interpretação para usar na resposta da prova — vai dar certo, respira e confia no processo!