É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 43 e 78 anos, e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa muscular ( Y ).
X 71 64 43 67 56 73 68 56 76 65 45 58 45 53 49 78 73 68
Y 82 91 100 68 87 73 78 80 65 84 116 76 97 100 105 77 73 78
a) Obtenha a equação da regressão linear simples, interpretando os coeficientes da mesma;
a) Obter o coeficiente de determinação linear simples;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Obter a equação da regressão linear simples entre idade (X) e massa muscular (Y) e interpretar os coeficientes dessa equação.
  2. Obter o coeficiente de determinação da regressão (ou seja, R^2).
Dados fornecidos (peguei todos os pares (X,Y) da tabela do enunciado):
\begin{array}{l} X: 71,\,64,\,43,\,67,\,56,\,73,\,68,\,56,\,76,\,65,\,45,\,58,\,45,\,53,\,49,\,78,\,73,\,68,\\[2pt] Y: 82,\,91,\,100,\,68,\,87,\,73,\,78,\,80,\,65,\,84,\,116,\,76,\,97,\,100,\,105,\,77,\,73,\,78.
Vou usar esses dados para calcular as somas e as estatísticas necessárias e, a partir delas, obter a reta de regressão e R^2.]

Passo 2

Primeiro calculamos alguns totais que aparecem nas fórmulas da regressão:
n=18.
Somei os X, os Y, os X^2 e os XY. Os resultados (obtidos somando os termos da tabela) são:
\sum X = 1108,\qquad \sum Y = 1530,
\sum X^2 = 70362,\qquad \sum XY = 91964.

Passo 3

Calculo das médias amostrais (muito importante: \bar X e \bar Y aparecem nas fórmulas):
\bar X = \dfrac{\sum X}{n} = \dfrac{1108}{18} = \dfrac{554}{9}\approx 61,555\ldots,
\bar Y = \dfrac{\sum Y}{n} = \dfrac{1530}{18}=85.
Explicação curta: \bar X é a idade média do grupo e \bar Y é a massa muscular média.

Passo 4

Apresento as fórmulas básicas da regressão linear simples (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • A reta ajustada tem forma \displaystyle \hat Y = \beta_0 + \beta_1 X, onde \beta_0 é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0) e \beta_1 é a inclinação ou coeficiente angular (variação esperada em Y quando X aumenta 1 unidade).
  • Para obter \beta_1 e \beta_0 usamos:
S_{xx}=\sum X^2 - \dfrac{(\sum X)^2}{n},\qquad S_{xy}=\sum XY - \dfrac{(\sum X)(\sum Y)}{n}.
\beta_1 = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \beta_0=\bar Y - \beta_1\bar X.
Explicação: S_{xx} mede a variação dos X em torno da média; S_{xy} mede a covariação entre X e Y. O quociente dá a inclinação da melhor reta em quadrados mínimos.

Passo 5

Calculo de S_{xy} e S_{xx} substituindo os totais:
S_{xy}=\sum XY - \dfrac{(\sum X)(\sum Y)}{n} =91964 - \dfrac{1108\cdot 1530}{18}.
Calculo interno: \dfrac{1108\cdot1530}{18}=1108\cdot85=94180. Logo
S_{xy}=91964-94180=-2216.
Agora S_{xx}:
S_{xx}=\sum X^2 - \dfrac{(\sum X)^2}{n} =70362 - \dfrac{1108^2}{18}.
Calculo interno: 1108^2=1227664 e \dfrac{1227664}{18}\approx 68203,\overline{5}. Assim
S_{xx}=70362 - 68203,\overline{5} = 2158,\overline{4}\quad(\text{ou } \dfrac{19426}{9}\approx 2158,444\ldots).

Passo 6

Agora a inclinação \beta_1:
\beta_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}=\dfrac{-2216}{2158,\overline{4}} \approx -1,026668\ldots
Arredondando para três casas decimais (próximo ao nível de precisão que se usa em prova):
\beta_1 \approx -1,027.
Interpretação da inclinação (agora didática): isso significa que, segundo o modelo linear ajustado, ao aumentarmos a idade em uma unidade (um ano), a massa muscular média esperada diminui cerca de \,1,027 unidades (as mesmas unidades de Y) — ou seja, aproximadamente uma perda de 1,027 por ano, em média, segundo os dados.

Passo 7

Cálculo do intercepto \beta_0:
\beta_0=\bar Y - \beta_1\bar X =85 - (-1,026668\ldots)\cdot 61,555\ldots \approx 85 + 63,1956\ldots \approx 148,1956\ldots
Arredondando:
\beta_0 \approx 148,196.
Interpretação do intercepto: numericamente, \beta_0 representa o valor previsto de Y quando X=0. No nosso contexto significa “massa muscular prevista para idade zero”, que é uma extrapolação fora da faixa de dados (as idades observadas estão entre 43 e 78), portanto esse valor não tem interpretação prática real, mas é necessário para a equação da reta.

Passo 8

Escrevo a equação da reta de regressão (com os coeficientes arredondados):
\boxed{\hat Y \approx 148,196 - 1,027\,X.}
Explicação resumida: usar essa reta significa que para uma mulher de idade X anos a previsão da massa muscular é dada por \hat Y conforme a fórmula; o coeficiente angular negativo confirma que a massa tende a diminuir com a idade.

Passo 9

Agora calculamos o coeficiente de determinação R^2. Primeiro precisamos de S_{yy}:
S_{yy}=\sum Y^2 - \dfrac{(\sum Y)^2}{n}.
(Para isso somei os Y^2 dos dados: \sum Y^2=133300.)
S_{yy}=133300 - \dfrac{1530^2}{18}=133300 - 130050 = 3250.
Fórmula prática para R^2 na regressão linear simples:
R^2 = \dfrac{(S_{xy})^2}{S_{xx}\,S_{yy}}.
Substituindo:
R^2 = \dfrac{(-2216)^2}{2158,\overline{4}\times 3250} = \dfrac{4910656}{7014944,\overline{4}}\approx 0,70003\ldots
Arredondando para três casas decimais:
R^2 \approx 0,700.
Interpretação do R^2: cerca de 70\% da variação observada na massa muscular Y é explicada pela variação da idade X segundo o modelo linear ajustado. O restante (aprox. 30\%) é explicado por outras variáveis ou por variação aleatória.

Passo 10

Resumo prático para a prova (rápido e direto):
  • Calcule \sum X,\sum Y,\sum X^2,\sum XY;
  • calcule \bar X,\bar Y;
  • obtenha S_{xx},S_{xy} e então \beta_1=S_{xy}/S_{xx} e \beta_0=\bar Y-\beta_1\bar X;
  • para R^2 use S_{yy} e a fórmula acima.
    Você já tem todos os números necessários e a interpretação para usar na resposta da prova — vai dar certo, respira e confia no processo!

Resposta

\hat Y \approx 148,196 - 1,027\,X
R^2 \approx 0,700

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