Calcule a derivada das seguintes funções, utilizando as derivadas de \sin (x) e de \cos (x) :
\cot (x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de \cot(x) usando as derivadas de \sin(x) e \cos(x).
Informações dadas (úteis):
  • Sabemos que \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
  • Sabemos que \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • A função \cot(x) está definida quando \sin(x)\neq 0 (ou seja, x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}).
A tarefa: encontrar \dfrac{d}{dx}\cot(x), explicando passo a passo.

Passo 2

Expressão conveniente: escrever \cot(x) como razão entre \cos e \sin. Isso facilita usar as derivadas dadas.
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
Lembre que aqui precisamos \sin(x)\neq 0 para a divisão fazer sentido.

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente para derivar \dfrac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando: u'(x) é a derivada de u, v'(x) é a derivada de v. A fórmula combina essas derivadas formando o numerador u'v-uv' e divide pelo quadrado de v.

Passo 4

Identificamos u(x) e v(x) a partir da nossa escrita de \cot(x):
u(x)=\cos(x),\qquad v(x)=\sin(x).
Usando as derivadas conhecidas:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x),\qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\cot(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(-\sin(x))\cdot\sin(x)-\cos(x)\cdot\cos(x)}{[\sin(x)]^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 6

Calcule o numerador:
(-\sin(x))\sin(x)-\cos(x)\cos(x)=-\sin^{2}(x)-\cos^{2}(x).
Usamos a identidade pitagórica fundamental:
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Portanto o numerador fica -1. Substituindo no quociente:
\frac{d}{dx}\cot(x)=\frac{-1}{\sin^{2}(x)}.

Passo 7

Forma alternativa e notação trigonométrica: a função \csc(x) (cosecante) é definida por \csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}. Assim
\frac{-1}{\sin^{2}(x) }= -\csc^{2}(x).
Dica para decorar: como \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^{2}(x), a derivada de \cot(x) é análoga com sinal negativo: -\csc^{2}(x).

Resposta

\dfrac{d}{dx}\cot(x)=-\csc^{2}(x)

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