Calcule a derivada das seguintes funções, utilizando as derivadas de
e de
:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
usando as derivadas de
e
.
Informações dadas (úteis):
- Sabemos que
. - Sabemos que
. - A função
está definida quando (ou seja, , ).
A tarefa: encontrar
, explicando passo a passo.
Passo 2
Expressão conveniente: escrever
como razão entre
e
. Isso facilita usar as derivadas dadas.
Lembre que aqui precisamos
para a divisão fazer sentido.
Passo 3
Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz:
Explicando:
é a derivada de
,
é a derivada de
. A fórmula combina essas derivadas formando o numerador
e divide pelo quadrado de
.
Passo 4
Identificamos
e
a partir da nossa escrita de
:
Usando as derivadas conhecidas:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 6
Calcule o numerador:
Usamos a identidade pitagórica fundamental:
Portanto o numerador fica
. Substituindo no quociente:
Passo 7
Forma alternativa e notação trigonométrica: a função
(cosecante) é definida por
. Assim
Dica para decorar: como
, a derivada de
é análoga com sinal negativo:
.