- Calcule o valor da área da região do plano cartesiano que consiste de todos os pontos
tais que
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
- O enunciado considera todos os pontos
tais que e - As perguntas implícitas são:
- Descrever a região do plano determinada por essas desigualdades.
- Calcular a área dessa região.
Informações relevantes dadas:
- Para cada
entre e , a coordenada está entre (uma parábola) e (uma reta). - O intervalo de
é .
Passo 2
Decidir como calcular a área e justificar a escolha (a explicação didática).
- Quando a região é descrita por desigualdades do tipo
com variando em algum intervalo, a forma direta de calcular a área é integrar em relação a a diferença entre a fronteira direita e a fronteira esquerda: Aqui cada “fatia” horizontal de espessura tem comprimento ; somando (integrando) essas fatias obtemos a área total. - No nosso caso, isso significa
desde que realmente valha para todo . No próximo passo eu verifico isso explicitamente (sempre bom checar que a fronteira esquerda está à esquerda da direita).
Passo 3
Verificar que a condição
vale para todo
.
- Reescrevendo:
- Resolver a equação quadrática
para achar as raízes que delimitam o sinal: As raízes são aproximadamente e . - A parábola
abre para cima, logo ela é entre essas duas raízes, isto é para . - Como o intervalo dado
está contido nesse intervalo (pois e ), concluímos que para todo vale . Portanto a integral do Passo 2 é válida e descreve corretamente a área.
Passo 4
Escrever a integral que calcula a área e explicar cada termo (aula rápida).
- A integral a calcular é
- Interpretação dos termos:
-
é a abscissa da curva à direita (a linha). -
é a abscissa da curva à esquerda (a parábola). - A diferença
é o comprimento horizontal da fatia em altura . - Integramos de
a porque essas são as extremidades em .
-
Passo 5
Calcular a antiderivada passo a passo (como fazer na prova sem pular etapas).
- Separando termos:
- Usar as regras básicas:
-
, porque a primitiva de é para . -
. -
.
-
- Logo uma primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida aplicando a primitiva e fazendo as contas com cuidado (frações).
- Calcular
: Colocando em denominador comum : - Calcular
: Em denominador comum : - A área é
:
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido.
- Conclusão: a região é a faixa limitada à esquerda pela parábola
, à direita pela reta e entre e . Somando as fatias horizontais obtemos a área . - Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é a técnica padrão quando as desigualdades dão
em função de . Na prova, identificar rapidamente a variável de integração (aquela que aparece nas funções limites) já economiza muito tempo. Você consegue!