1. Calcule o valor da área da região do plano cartesiano que consiste de todos os pontos
(x, y) \in \mathbb{R}^{2}
tais que
y^{2} \leq x \leq y+3 \text { e }-1 \leq y \leq 1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado considera todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que y^{2} \leq x \leq y+3e -1 \leq y \leq 1.
  • As perguntas implícitas são:
    1. Descrever a região do plano determinada por essas desigualdades.
    2. Calcular a área dessa região.
Informações relevantes dadas:
  • Para cada y entre -1 e 1, a coordenada x está entre x=y^{2} (uma parábola) e x=y+3 (uma reta).
  • O intervalo de y é [-1,1].

Passo 2

Decidir como calcular a área e justificar a escolha (a explicação didática).
  • Quando a região é descrita por desigualdades do tipo a(y)\le x\le b(y) com y variando em algum intervalo, a forma direta de calcular a área é integrar em relação a y a diferença entre a fronteira direita e a fronteira esquerda: \text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.ÁAqui cada “fatia” horizontal de espessura dy tem comprimento x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}; somando (integrando) essas fatias obtemos a área total.
  • No nosso caso, isso significa \text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl((y+3)-y^{2}\bigr)\,dy,Ádesde que realmente valha y^{2}\le y+3 para todo y\in[-1,1]. No próximo passo eu verifico isso explicitamente (sempre bom checar que a fronteira esquerda está à esquerda da direita).

Passo 3

Verificar que a condição y^{2}\le y+3 vale para todo y\in[-1,1].
  • Reescrevendo: y^{2}\le y+3 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}-y-3\le 0.
  • Resolver a equação quadrática y^{2}-y-3=0 para achar as raízes que delimitam o sinal: y=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.As raízes são aproximadamente y\approx -1{,}3028 e y\approx 2{,}3028.
  • A parábola y^{2}-y-3 abre para cima, logo ela é \le 0 entre essas duas raízes, isto é para y\in\bigl[\tfrac{1-\sqrt{13}}{2},\,\tfrac{1+\sqrt{13}}{2}\bigr].
  • Como o intervalo dado [-1,1] está contido nesse intervalo (pois -1{,}3028< -1 e 1<2{,}3028), concluímos que para todo y\in[-1,1] vale y^{2}\le y+3. Portanto a integral do Passo 2 é válida e descreve corretamente a área.

Passo 4

Escrever a integral que calcula a área e explicar cada termo (aula rápida).
  • A integral a calcular é \text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl((y+3)-y^{2}\bigr)\,dy.Á
  • Interpretação dos termos:
    • y+3 é a abscissa da curva à direita (a linha).
    • y^{2} é a abscissa da curva à esquerda (a parábola).
    • A diferença (y+3)-y^{2} é o comprimento horizontal da fatia em altura y.
    • Integramos de -1 a 1 porque essas são as extremidades em y.

Passo 5

Calcular a antiderivada passo a passo (como fazer na prova sem pular etapas).
  • Separando termos: \int\bigl(y+3-y^{2}\bigr)\,dy=\int y\,dy+\int 3\,dy-\int y^{2}\,dy.
  • Usar as regras básicas:
    • \displaystyle\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}, porque a primitiva de y^{n} é \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
    • \displaystyle\int 3\,dy=3y.
    • \displaystyle\int y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}.
  • Logo uma primitiva é F(y)=\frac{y^{2}}{2}+3y-\frac{y^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida aplicando a primitiva e fazendo as contas com cuidado (frações).
  • Calcular F(1): F(1)=\frac{1^{2}}{2}+3\cdot 1-\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{2}+3-\frac{1}{3}.Colocando em denominador comum 6: F(1)=\frac{3}{6}+\frac{18}{6}-\frac{2}{6}=\frac{19}{6}.
  • Calcular F(-1): F(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+3(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{2}-3+\frac{1}{3}.Em denominador comum 6: F(-1)=\frac{3}{6}-\frac{18}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{13}{6}.
  • A área é F(1)-F(-1): \text{Área}=\frac{19}{6}-\Bigl(-\frac{13}{6}\Bigr)=\frac{19+13}{6}=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}.Á

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido.
  • Conclusão: a região é a faixa limitada à esquerda pela parábola x=y^{2}, à direita pela reta x=y+3 e entre y=-1 e y=1. Somando as fatias horizontais obtemos a área \tfrac{16}{3}.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa é a técnica padrão quando as desigualdades dão x em função de y. Na prova, identificar rapidamente a variável de integração (aquela que aparece nas funções limites) já economiza muito tempo. Você consegue!

Resposta

\dfrac{16}{3}

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