Utilize a aproximação linear: f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a) para x arbitrariamente próximo de a. para calcular
\sqrt{\frac{13}{10}}

Passo 1

O problema pede para calcular
\sqrt{\frac{13}{10}}
usando a aproximação linear fornecida
f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)
válida para x arbitrariamente próximo de a. As informações relevantes são:
  • O valor a aproximar é x=\dfrac{13}{10}.
  • A fórmula de aproximação linear é \;f(x)\approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\;.
  • Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Escolher uma função f adequada e um ponto a próximo de x.
Aqui a função natural é
f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},
porque f(x) avaliada em x=\dfrac{13}{10} dá exatamente o que queremos. Para aplicar a aproximação linear escolhe-se um a que seja:
  • próximo de x=\dfrac{13}{10} (para a aproximação ficar boa);
  • fácil de avaliar f(a) e f'(a) sem calculadora.
Um bom a é a=1, pois 1 está perto de \dfrac{13}{10}=1,3 e \sqrt{1}=1 é simples.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=x^{1/2} e avaliá-la em a=1.
Regra: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=\tfrac{1}{2} temos
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Agora avalia em a=1:
f(1)=\sqrt{1}=1, \qquad f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular o deslocamento x-a com x=\dfrac{13}{10} e a=1.
x-a=\frac{13}{10}-1=\frac{13}{10}-\frac{10}{10}=\frac{3}{10}=0,3.
(Usei a forma fracionária \dfrac{3}{10} e a forma decimal 0,3 para ficar claro.)

Passo 5

Aplicar a aproximação linear \;f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\; com os valores calculados.
\sqrt{\frac{13}{10}}=f\!\left(\frac{13}{10}\right)\approx f(1)+f'(1)\left(\frac{13}{10}-1\right).
Substituindo f(1)=1, f'(1)=\dfrac{1}{2} e x-a=\dfrac{3}{10}:
\sqrt{\frac{13}{10}}\approx 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}.
Calcule o produto:
\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{20}.
Some:
1+\frac{3}{20}=\frac{20}{20}+\frac{3}{20}=\frac{23}{20}.
Na forma decimal (vírgula):
\frac{23}{20}=1,15.
Portanto a aproximação linear fornece 1,15.

Passo 6

Breve comentário sobre a qualidade da aproximação (útil na prova): o erro da aproximação linear pode ser estimado pelo resto de Taylor de ordem 1, que envolve a segunda derivada. Aqui
f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}=-\frac{1}{4x^{3/2}}.
No intervalo entre 1 e 1,3 o valor máximo de |f''(x)| ocorre em x=1, valendo \dfrac{1}{4}. O resto em forma de cota atende
|R_1|\le \frac{\max|f''|}{2}(x-a)^2 \le \frac{1/4}{2}\left(\frac{3}{10}\right)^2=\frac{1}{8}\cdot\frac{9}{100}=\frac{9}{800}\approx0,01125.
Assim o erro é menor que 0,01125; isso indica que a aproximação 1,15 está bastante próxima do valor real.

Resposta

1,15

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