Utilize a aproximação linear:
para
arbitrariamente próximo de
. para calcular
Passo 1
O problema pede para calcular
usando a aproximação linear fornecida
válida para
arbitrariamente próximo de
. As informações relevantes são:
- O valor a aproximar é
. - A fórmula de aproximação linear é
. - Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Escolher uma função
adequada e um ponto
próximo de
.
Aqui a função natural é
porque
avaliada em
dá exatamente o que queremos. Para aplicar a aproximação linear escolhe-se um
que seja:
- próximo de
(para a aproximação ficar boa); - fácil de avaliar
e sem calculadora.
Um bom
é
, pois
está perto de
e
é simples.
Passo 3
Calcular a derivada de
e avaliá-la em
.
Regra: se
então
. Aplicando com
temos
Agora avalia em
:
Passo 4
Calcular o deslocamento
com
e
.
(Usei a forma fracionária
e a forma decimal
para ficar claro.)
Passo 5
Aplicar a aproximação linear
com os valores calculados.
Substituindo
,
e
:
Calcule o produto:
Some:
Na forma decimal (vírgula):
Portanto a aproximação linear fornece
.
Passo 6
Breve comentário sobre a qualidade da aproximação (útil na prova): o erro da aproximação linear pode ser estimado pelo resto de Taylor de ordem 1, que envolve a segunda derivada. Aqui
No intervalo entre
e
o valor máximo de
ocorre em
, valendo
. O resto em forma de cota atende
Assim o erro é menor que
; isso indica que a aproximação
está bastante próxima do valor real.