- Verifique que
SUgestãO: Regra de L’Hôpital.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função
está definida somente quando . Logo só faz sentido considerar o limite pela direita, isto é . - Em
temos , portanto diverge quando .
Portanto a questão real é avaliar
Passo 2
Fazemos uma mudança de variável para simplificar a escrita: seja
então
quando
. Reescrevendo a expressão em
:
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Assim
Logo a expressão fica
Portanto o limite original equivale a
Passo 3
Queremos calcular
. É conveniente analisar o módulo:
pois
para
. Para
pequeno vale a desigualdade bem conhecida
Multiplicando por
obtemos
Assim, se mostrarmos que
, teremos por comparação (squeeze theorem) que
, o que implica
.
Passo 4
Mostramos que
. Como para
temos
, é útil escrever
e aplicar a Regra de L’Hôpital (condições: numerador
, denominador
, forma indeterminada
válida para L’Hôpital). Derivando numerador e denominador em relação a
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Pelo teorema de L’Hôpital,
Portanto
. Como
é negativo para
, segue que
também.
Passo 5
Voltando à desigualdade do Passo 3, temos
e o lado direito tende a
. Pelo princípio do sanduíche,
Assim
Lembrando que isso é exatamente a expressão equivalente ao limite pedido quando
, concluímos que o limite procurado é
.
Resposta
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