Calcule o valor da área sob o gráfico da função \tan (x) no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right] :
(a) \infty
(b) 1
(c) \frac{\pi}{2}
(d) \ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função \tan(x) no intervalo \left[0,\frac{\pi}{2}\right] e oferece opções:
(a) \infty
(b) 1
(c) \frac{\pi}{2}
(d) \ln 2
Informações dadas: a função é \tan(x) e o intervalo é \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. Note que \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x} e que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 (isto é uma informação do enunciado/da trigonometria).

Passo 2

Expressamos a área pedida como a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x\,dx.
Como \tan x fica indefinida em x=\frac{\pi}{2} (porque \cos anula no denominador), esta é uma integral imprópria. Ou seja, definimos-a por limite:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x\,dx := \lim_{b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^-} \int_{0}^{b} \tan x\,dx.
Explicar isso: a integral sobre [0,\frac{\pi}{2}] será o limite das áreas sobre [0,b] quando b se aproxima de \frac{\pi}{2} pela esquerda.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de \tan x. Usamos a substituição clássica que resolve frações \dfrac{\sin x}{\cos x}:
Tomemos u=\cos x. Então du = -\sin x\,dx, ou seja \sin x\,dx = -du.
Como \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, substituindo obtemos a integral indefinida
\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{u} = -\int \frac{du}{u}.
A integral de \frac{1}{u} é o logaritmo natural, logo
\int \tan x\,dx = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C,
onde C é a constante de integração. Explicação das variáveis: u é a nova variável u=\cos x; depois voltamos para x.

Passo 4

Usamos essa primitiva para avaliar \int_{0}^{b} \tan x\,dx (com 0<b<\frac{\pi}{2}):
\int_{0}^{b} \tan x\,dx = \bigl[-\ln|\cos x|\bigr]_{0}^{b} = -\ln|\cos b| -\bigl(-\ln|\cos 0|\bigr).
Como \cos 0 = 1 e \ln 1 = 0, isso simplifica para
\int_{0}^{b} \tan x\,dx = -\ln(\cos b).
Observação: para 0<b<\frac{\pi}{2} temos \cos b>0, por isso podemos retirar o valor absoluto.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^-:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x\,dx = \lim_{b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^-} -\ln(\cos b).
Como b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^- implica \cos b \to 0^+, lembre que \lim_{t\to 0^+} \ln t = -\infty. Portanto
\lim_{b\to\left(\frac{\pi}{2}\right)^-} -\ln(\cos b) = -\bigl(-\infty\bigr) = +\infty.
Intuição curta: o logaritmo de um número positivo muito pequeno é um número muito negativo; o negativo desse valor diverge para +\infty.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria diverge para infinito, ou seja a área sob \tan x em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] é infinita. Em palavras: a região tem área ilimitada porque a função cresce sem limite ao se aproximar de \frac{\pi}{2} (há uma assíntota vertical).

Resposta

(a) \infty

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