Calcule o valor da área sob o gráfico da função
no intervalo
:
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(a)
(b) 1
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função
no intervalo
e oferece opções:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações dadas: a função é
e o intervalo é
. Note que
e que
(isto é uma informação do enunciado/da trigonometria).
Passo 2
Expressamos a área pedida como a integral definida
Como
fica indefinida em
(porque
anula no denominador), esta é uma integral imprópria. Ou seja, definimos-a por limite:
Explicar isso: a integral sobre
será o limite das áreas sobre
quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 3
Vamos calcular a primitiva (antiderivada) de
. Usamos a substituição clássica que resolve frações
:
Tomemos
. Então
, ou seja
.
Como
, substituindo obtemos a integral indefinida
A integral de
é o logaritmo natural, logo
onde
é a constante de integração. Explicação das variáveis:
é a nova variável
; depois voltamos para
.
Passo 4
Usamos essa primitiva para avaliar
(com
):
Como
e
, isso simplifica para
Observação: para
temos
, por isso podemos retirar o valor absoluto.
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Como
implica
, lembre que
. Portanto
Intuição curta: o logaritmo de um número positivo muito pequeno é um número muito negativo; o negativo desse valor diverge para
.
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria diverge para infinito, ou seja a área sob
em
é infinita. Em palavras: a região tem área ilimitada porque a função cresce sem limite ao se aproximar de
(há uma assíntota vertical).
Resposta
(a)