Calcule o valor da área sob o gráfico da função \frac{1}{1+x^{2}} no intervalo [0, \infty] :
(a) \infty
(b) 1
(c) \frac{\pi}{2}
(d) \ln 2

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico da função \frac{1}{1+x^{2}} no intervalo [0,\infty]. Em linguagem matemática, isso significa calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x\to\infty.
  • A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.

Passo 2

Explico o que é integrar até infinito (integral imprópria): interpretamos
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
como o limite
\lim_{R\to\infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Ou seja, primeiro calculamos a integral usual de 0 até um número finito R, e depois fazemos R crescer até o infinito. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral imprópria converge e esse é o valor da área.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \frac{1}{1+x^{2}}. Um fato muito usado e que aqui eu ensino e justifico: a derivada de \arctan x é \frac{1}{1+x^{2}}. Justificativa curta e intuitiva:
  • Seja y=\arctan x. Então x=\tan y.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x: 1 = \operatorname{sec}^{2}y \cdot \dfrac{dy}{dx}.
  • Logo \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}y} = \dfrac{1}{1+\tan^{2}y} = \dfrac{1}{1+x^{2}}.
    Portanto uma primitiva é \arctan x, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Usando a primitiva, a integral de 0 até R é
\int_{0}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \big[\arctan x\big]_{0}^{R} = \arctan R - \arctan 0.
Sabemos que \arctan 0 = 0, então
\int_{0}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan R.

Passo 5

Agora pegamos o limite quando R\to\infty:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \lim_{R\to\infty} \arctan R.
Explicando porque esse limite vale \tfrac{\pi}{2}: a função \arctan x é crescente e está limitada acima por \tfrac{\pi}{2} (essa é a imagem assintótica porque \tan cresce até +\infty quando o ângulo se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda). Portanto \arctan R se aproxima de \tfrac{\pi}{2} quando R\to\infty. Assim
\lim_{R\to\infty} \arctan R = \frac{\pi}{2}.

Passo 6

Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor (a área pedida) é \tfrac{\pi}{2}. Entre as alternativas fornecidas, corresponde à alternativa (c).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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