Calcule o valor da área sob o gráfico da função
no intervalo
:
(a)
(b) 1
(c)
(d)
(a)
(b) 1
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a área sob o gráfico da função
no intervalo
. Em linguagem matemática, isso significa calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O intervalo de integração é de
até . - A integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
Passo 2
Explico o que é integrar até infinito (integral imprópria): interpretamos
como o limite
Ou seja, primeiro calculamos a integral usual de
até um número finito
, e depois fazemos
crescer até o infinito. Se esse limite existir (for finito), dizemos que a integral imprópria converge e esse é o valor da área.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de
. Um fato muito usado e que aqui eu ensino e justifico: a derivada de
é
. Justificativa curta e intuitiva:
- Seja
. Então . - Diferenciando ambos os lados em relação a
: . - Logo
.
Portanto uma primitiva é, isto é,
Passo 4
Usando a primitiva, a integral de
até
é
Sabemos que
, então
Passo 5
Agora pegamos o limite quando
:
Explicando porque esse limite vale
: a função
é crescente e está limitada acima por
(essa é a imagem assintótica porque
cresce até
quando o ângulo se aproxima de
pela esquerda). Portanto
se aproxima de
quando
. Assim
Passo 6
Concluímos que a integral imprópria converge e seu valor (a área pedida) é
. Entre as alternativas fornecidas, corresponde à alternativa (c).