Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da função
.\n
Informações dadas (explicitadas):
. Não há outras restrições no enunciado.
Informações dadas (explicitadas):
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar a expressão usando regras de potências/exponenciais. Lembre que
. Aplicando aqui:
Também podemos fatorar o expoente:
Outra reescrita útil (centralizada em
):
portanto
Passo 3
Domínio e imagem (range):
- O domínio é todos os reais, pois exponencial está definida para todo
: . - Como
para qualquer entrada, a imagem é : para todo .
Passo 4
Simetria e posição do mínimo:
A forma mostra que
depende apenas de
multiplicado por constante. Logo:
A forma
-
é simétrica em relação à reta vertical . - O termo
atinge mínimo quando , com valor . Assim atinge seu mínimo global em :
Passo 5
Pontos notáveis (valores fáceis para plotar):
-
-
(isso confirma simetria: e equidistantes de têm mesmo valor) -
(mínimo) - Escolhendo distância
de : e dão .
Esses pontos ajudam a esboçar a curva.
Passo 6
Comportamento nas infinitudes (limites):
Calcule o limite quando e
. Note que
para grandes
, então o expoente cresce para
quando
. Portanto
Calcule o limite quando
Não há assíntotas horizontais; a função cresce muito para os dois lados.
Passo 7
Derivada e monotonicidade (como estudar no rascunho da prova):
Vamos calcular a derivada usando a regra da cadeia. Se então
. Aqui
, então
. Logo
Vamos calcular a derivada usando a regra da cadeia. Se
Como
sempre, o sinal de
é o sinal de
. Portanto:
-
para (função decrescente à esquerda de ); -
em (ponto crítico); -
para (função crescente à direita de ).
Conclusão:é mínimo global (coerente com o passo 4).
Passo 8
Segunda derivada e concavidade:
Derivando (novamente regra do produto e cadeia) obtemos
Derivando
Note que
para todo
e
. Logo
para todo
. Isso significa que
é estritamente côncava para cima (convexa) em toda a reta real; não existem pontos de inflexão.
Passo 9
Resumo das características para esboçar (o roteiro que você pode usar na prova):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Forma simplificada:
. - Simetria: simétrica em relação a
. - Mínimo global em
com valor . - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em . - Concavidade: côncava para cima em toda
(sem pontos de inflexão). - Limites:
. - Pontos para marcar no esboço:
(mínimo), , , e por exemplo e .
Com esses itens você pode desenhar uma curva com um “vale” simétrico em
, subindo rapidamente para
de cada lado.
Resposta
Função:
\n
Domínio: \n
Imagem: \n
Mínimo global: em com
\n
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
\n
Concavidade: convexa ( para todo
)\n
Limites: \n
Pontos úteis: ,
,
Domínio:
Imagem:
Mínimo global: em
Monotonicidade: decrescente em
Concavidade: convexa (
Limites:
Pontos úteis: