Esboce o gráfico das seguintes funções:
f_{3}(x)=\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da função \displaystyle f_{3}(x)=\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}.\n
Informações dadas (explicitadas):
\displaystyle f_{3}(x)=\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar a expressão usando regras de potências/exponenciais. Lembre que \displaystyle \frac{e^{A}}{e^{B}}=e^{A-B}. Aplicando aqui:
\displaystyle f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{e^{x}}=e^{x^{2}-x}.
Também podemos fatorar o expoente:
\displaystyle x^{2}-x = x(x-1).
Outra reescrita útil (centralizada em x=\tfrac{1}{2}):
\displaystyle x^{2}-x = \left(x-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{4},
portanto
\displaystyle f(x)=e^{(x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}}=e^{-\tfrac{1}{4}}\;e^{(x-\tfrac{1}{2})^{2}}.

Passo 3

Domínio e imagem (range):
  • O domínio é todos os reais, pois exponencial está definida para todo x: \displaystyle \text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Como e^{(\cdot)}>0 para qualquer entrada, a imagem é (0,\infty): \displaystyle f(x)>0 para todo x.

Passo 4

Simetria e posição do mínimo:
A forma \displaystyle f(x)=e^{-\tfrac{1}{4}}e^{(x-\tfrac{1}{2})^{2}} mostra que f depende apenas de (x-\tfrac{1}{2})^{2} multiplicado por constante. Logo:
  • f é simétrica em relação à reta vertical x=\tfrac{1}{2}.
  • O termo (x-\tfrac{1}{2})^{2} atinge mínimo quando x=\tfrac{1}{2}, com valor (x-\tfrac{1}{2})^{2}=0. Assim f atinge seu mínimo global em x=\tfrac{1}{2}:
\displaystyle f\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=e^{-\tfrac{1}{4}}\approx 0{,}7788.

Passo 5

Pontos notáveis (valores fáceis para plotar):
  • f(0)=e^{0^{2}-0}=e^{0}=1.
  • f(1)=e^{1-1}=e^{0}=1. (isso confirma simetria: 0 e 1 equidistantes de 1/2 têm mesmo valor)
  • f\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=e^{-1/4}\approx 0{,}7788 (mínimo)
  • Escolhendo distância 1{,}5 de 1/2: x=-1 e x=2 dão f(-1)=f(2)=e^{(-1)^{2}-(-1)}=e^{2}\approx 7{,}389.
    Esses pontos ajudam a esboçar a curva.

Passo 6

Comportamento nas infinitudes (limites):
Calcule o limite quando x\to+\infty e x\to-\infty. Note que x^{2}-x\sim x^{2} para grandes |x|, então o expoente cresce para +\infty quando |x|\to\infty. Portanto
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
Não há assíntotas horizontais; a função cresce muito para os dois lados.

Passo 7

Derivada e monotonicidade (como estudar no rascunho da prova):
Vamos calcular a derivada usando a regra da cadeia. Se f(x)=e^{g(x)} então f'(x)=g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=x^{2}-x, então g'(x)=2x-1. Logo
\displaystyle f'(x)=(2x-1)e^{x^{2}-x}.
Como e^{x^{2}-x}>0 sempre, o sinal de f'(x) é o sinal de (2x-1). Portanto:
  • f'(x)<0 para x<\tfrac{1}{2} (função decrescente à esquerda de 1/2);
  • f'(x)=0 em x=\tfrac{1}{2} (ponto crítico);
  • f'(x)>0 para x>\tfrac{1}{2} (função crescente à direita de 1/2).
    Conclusão: x=\tfrac{1}{2} é mínimo global (coerente com o passo 4).

Passo 8

Segunda derivada e concavidade:
Derivando f'(x)=(2x-1)e^{x^{2}-x} (novamente regra do produto e cadeia) obtemos
\displaystyle f''(x)=\bigl(2+(2x-1)^{2}\bigr)e^{x^{2}-x}.
Note que \bigl(2+(2x-1)^{2}\bigr)>0 para todo x e e^{x^{2}-x}>0. Logo f''(x)>0 para todo x. Isso significa que f é estritamente côncava para cima (convexa) em toda a reta real; não existem pontos de inflexão.

Passo 9

Resumo das características para esboçar (o roteiro que você pode usar na prova):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: (0,\infty).
  • Forma simplificada: \displaystyle f(x)=e^{x^{2}-x}=e^{-\tfrac{1}{4}}e^{(x-\tfrac{1}{2})^{2}}.
  • Simetria: simétrica em relação a x=\tfrac{1}{2}.
  • Mínimo global em x=\tfrac{1}{2} com valor \displaystyle f\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=e^{-\tfrac{1}{4}}.
  • Monotonicidade: decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}), crescente em (\tfrac{1}{2},+\infty).
  • Concavidade: côncava para cima em toda \mathbb{R} (sem pontos de inflexão).
  • Limites: \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
  • Pontos para marcar no esboço: \bigl( \tfrac{1}{2},e^{-1/4}\bigr) (mínimo), (0,1), (1,1), e por exemplo (-1,e^{2}) e (2,e^{2}).
Com esses itens você pode desenhar uma curva com um “vale” simétrico em x=\tfrac{1}{2}, subindo rapidamente para +\infty de cada lado.

Resposta

Função: \displaystyle f(x)=e^{x^{2}-x}=e^{-\tfrac{1}{4}}e^{(x-\tfrac{1}{2})^{2}}\n
Domínio: \mathbb{R}\n
Imagem: (0,\infty)\n
Mínimo global: em x=\tfrac{1}{2} com f\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=e^{-1/4}\n
Monotonicidade: decrescente em (-\infty,\tfrac{1}{2}), crescente em (\tfrac{1}{2},\infty)\n
Concavidade: convexa ( f''(x)>0 para todo x)\n
Limites: \displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\n
Pontos úteis: f(0)=1, f(1)=1, f(-1)=f(2)=e^{2}

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