Calcule o valor de:
\binom{7}{2}+\binom{7}{3}+\binom{7}{4}+\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos coeficientes binomiais
\binom{7}{2}+\binom{7}{3}+\binom{7}{4}+\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}.
O conteúdo envolvido é combinatória, em particular a identidade da soma dos coeficientes binomiais.

Passo 2

Sabemos pela identidade do binômio que
\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}=2^{7}=128.

Passo 3

Queremos a soma de k=2 até k=7, ou seja, devemos subtrair os termos correspondentes a k=0 e k=1. Como \binom{7}{0}=1 e \binom{7}{1}=7,
temos
\sum_{k=2}^{7}\binom{7}{k} =\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k} -\bigl(\binom{7}{0}+\binom{7}{1}\bigr) =128-(1+7).

Passo 4

Fazendo a subtração:
128-8=120.

Resposta

120

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