Calcule o valor de cada uma das expressões a seguir:
\frac{\log _{3} 1+\log _{10} 0,01}{\log _{2} \frac{1}{64} \cdot \log _{4} \sqrt{8}})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\frac{\log_{3}1 + \log_{10}0,01}{\log_{2}\tfrac{1}{64}\;\cdot\;\log_{4}\sqrt{8}}
Aqui vamos usar as propriedades básicas de logaritmo: \log_{a}1=0, \log_{a}a^{k}=k e mudança de base \log_{b}c=\frac{\log_{d}c}{\log_{d}b}.

Passo 2

Calcular o numerador \log_{3}1 + \log_{10}0,01:
\log_{3}1 = 0, \qquad \log_{10}0,01 = \log_{10}10^{-2} = -2,
logo o numerador é
0 + (-2) = -2.

Passo 3

Calcular o denominador \log_{2}\tfrac{1}{64}\,\cdot\,\log_{4}\sqrt{8}:
\log_{2}\tfrac{1}{64} = \log_{2}64^{-1} = -\log_{2}64 = -6,
\log_{4}\sqrt{8} = \log_{4}8^{1/2} = \tfrac12\,\log_{4}8 = \tfrac12\,\frac{\log_{2}8}{\log_{2}4} = \tfrac12\,\frac{3}{2} = \tfrac{3}{4}.
Multiplicando,
\log_{2}\tfrac{1}{64}\;\cdot\;\log_{4}\sqrt{8} = (-6)\cdot\tfrac{3}{4} = -\tfrac{18}{4} = -\tfrac{9}{2}.

Passo 4

Agora fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
\frac{-2}{-\tfrac{9}{2}} = -2 \times \frac{2}{-9} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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