Calcule as raízes da equação a x^{2}+b x+c=0 em que:
a=\log _{10} 0,001 ; b=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{64} e c=3 \cdot \log _{2} 8.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação quadrática
a x^{2} + b x + c = 0
onde
a = \log_{10}0{,}001,\quad b = \log_{\tfrac{1}{2}}\!\tfrac{1}{64},\quad c = 3\,\log_{2}8.
Vamos primeiro simplificar cada coeficiente usando propriedades de logaritmos e depois aplicar a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Calcular a = \log_{10}0{,}001. Como 0{,}001 = 10^{-3} e \log_{10}10^{k}=k, temos
a = \log_{10}10^{-3} = -3.

Passo 3

Calcular b = \log_{\tfrac{1}{2}}\!\tfrac{1}{64}. Note que \tfrac{1}{64}=2^{-6}, então
b = \log_{\tfrac{1}{2}}2^{-6} = -6\,\log_{\tfrac{1}{2}}2.
Como \log_{\tfrac{1}{2}}2 = 1/\log_{2}\tfrac{1}{2} = 1/(-1) = -1, resulta
b = -6 \times (-1) = 6.

Passo 4

Calcular c = 3\,\log_{2}8. Sabendo que 8=2^{3} e \log_{2}2^{3}=3, obtemos
c = 3 \times 3 = 9.

Passo 5

Substituindo em a x^{2} + b x + c = 0, vem
-3x^{2} + 6x + 9 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
com a=-3, b=6, c=9:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2} - 4(-3)\cdot9 = 36 + 108 = 144,\quad \sqrt{\Delta}=12.
Logo
x = \frac{-6 \pm 12}{2\cdot(-3)} = \frac{-6 \pm 12}{-6}.
Isso dá as duas raízes:
x_{1} = \frac{-6+12}{-6} = \frac{6}{-6} = -1, \quad x_{2} = \frac{-6-12}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3.

Resposta

As raízes são x = -1 e x = 3.

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