Calcule o valor do coeficiente de difusão D em[m^2 / s], do carbono no ferro gamma a 927^circ C, sabendo que D0=2,0 times 10^-5 m^2 / s, Q=142 kJ / mol e R=8,314 J /(mol K).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular o coeficiente de difusão $ D $ do carbono no ferro γ a $ 927^{\circ} \mathrm{C} $. Para isso, vamos usar a Equação de Arrhenius, que é comum na cinética de difusão. Precisaremos dos seguintes dados:
  • $ D_0 = 2,0 \times 10^{-5} , \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} $ (fator pré-exponencial)
  • $ Q = 142 , \mathrm{kJ}/\mathrm{mol} $ (energia de ativação)
  • $ R = 8,314 , \mathrm{J}/(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}) $ (constante dos gases)
  • Temperatura: $ 927^{\circ} \mathrm{C} $
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a temperatura de Celsius para Kelvin, porque na equação de Arrhenius a temperatura $ T $ deve estar em Kelvin (K). A fórmula para essa conversão é:
T
Aplicando:
T(K) = T(^circC) + 273,15

Passo 3

Agora, vamos ajustar as unidades para que tudo esteja consistente. A energia de ativação $ Q $ está em kilojoules por mol, mas a constante $ R $ está em joules por mol Kelvin. Vamos converter $ Q $ para joules por mol:
Q

Passo 4

Com a temperatura em Kelvin e as unidades ajustadas, podemos usar a Equação de Arrhenius para calcular o coeficiente de difusão $ D $:
D
Onde:
  • $ e $ é a base do logaritmo natural
  • $ \frac{Q}{RT} $ é a razão entre a energia de ativação e o produto da constante dos gases pela temperatura
Substituindo os valores:
D = D0 times e^-QRT

Passo 5

Vamos calcular o expoente primeiro:
QRT = 1420008,314 times 1200,15
Calculando o denominador:
8,314 times 1200,15 approx 9977,5
Então:
1420009977,5 approx 14,218

Passo 6

Agora, calculamos $ e^{-14,218} $:
e^-14,218

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo fator pré-exponencial $ D_0 $:
D0
D = 2,0 times 10^-5 times 6,58 times 10^-7

Resposta

O coeficiente de difusão $ D $ do carbono no ferro γ a $ 927^{\circ} \mathrm{C} $ é aproximadamente $ 1,32 \times 10^{-11} , \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} $.

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