Calcule o valor de x dada a equação logarítmica abaixo:
5 \cdot \log _{2} x+3 \cdot \log _{2} x-5 \cdot \log _{2} x=16
A) -6
B) -7
C) 3
D) 5
E) 16

Passo 1

O enunciado dá a equação
5\cdot \log_{2} x + 3\cdot \log_{2} x - 5\cdot \log_{2} x = 16
e pede para calcular o valor de x. As alternativas fornecidas são:
A) -6, B) -7, C) 3, D) 5, E) 16.
Informações importantes dadas no enunciado: os coeficientes dos termos logarítmicos são 5, 3 e -5, a base do logaritmo é 2, e o lado direito da igualdade é 16.

Passo 2

Condição de existência (domínio). Antes de manipular logaritmos, sempre lembrar que o logaritmo de base 2 está definido somente para argumentos positivos. Portanto devemos ter
x>0.
Isso elimina imediatamente as alternativas negativas -6 e -7 (A e B), pois não podem ser soluções.

Passo 3

Simplificar os termos semelhantes. Note que todos os três termos são múltiplos de \log_{2} x, então podemos somar os coeficientes:
5 + 3 - 5 = 3.
Logo a equação reduz-se a
3\cdot \log_{2} x = 16.

Passo 4

Isolar \log_{2} x. Dividimos ambos os lados por 3:
\log_{2} x = \frac{16}{3}.
Explicação didática: dividir por 3 é a operação inversa de multiplicar por 3, então preservamos a igualdade.

Passo 5

Converter a equação logarítmica em uma equação exponencial. Pela definição do logaritmo:
\log_{b} y = z \quad\Longleftrightarrow\quad y = b^{z}.
Aplicando aqui com b=2, y=x e z=\dfrac{16}{3}, obtemos
x = 2^{\frac{16}{3}}.
Pequena aula: isso é o passo padrão para “tirar” o logaritmo — passamos da forma logarítmica para a exponencial.

Passo 6

Escrever a solução numa forma mais intuitiva e calcular aproximação. Podemos dividir o expoente:
2^{\frac{16}{3}} = 2^{5+\frac{1}{3}} = 2^{5}\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 32\cdot \sqrt[3]{2}.
Aproximação numérica:
\sqrt[3]{2}\approx 1{,}2599\quad\Rightarrow\quad x\approx 32\cdot 1{,}2599\approx 40{,}317.

Passo 7

Conferir com as alternativas restantes. Já excluímos as negativas. Verificando as positivas:
x=3\Rightarrow 3\cdot \log_{2}3\approx 3\cdot 1{,}585=4{,}755\neq 16,
x=5\Rightarrow 3\cdot \log_{2}5\approx 3\cdot 2{,}322=6{,}966\neq 16,
x=16\Rightarrow 3\cdot \log_{2}16=3\cdot 4=12\neq 16.
Portanto nenhuma das alternativas C, D ou E coincide com a solução exata encontrada.

Resposta

x=2^{\tfrac{16}{3}}

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