( \mathbf{2} pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l} x e^{x^{2}}+y \frac{d y}{d x}=0 \\\ y(0)=1, \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. Informações fornecidas:
\left\{\begin{array}{l} x e^{x^{2}}+y \dfrac{d y}{d x}=0,\\[4pt] y(0)=1. \end{array}\right.
Pergunta implícita: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Vamos reescrever a equação de uma forma que fique clara para integrar. Subtraindo x e^{x^{2}} de ambos os lados:
y \dfrac{d y}{d x} = -x e^{x^{2}}.
Observe que a expressão à esquerda tem a forma de derivada de algo simples: a derivada de \dfrac{1}{2}y^{2} em relação a x é exatamente y\,\dfrac{dy}{dx}. Vou explicar isso com calma: se definimos z(x)=\dfrac{1}{2}y(x)^{2}, então pela regra da cadeia
O lado esquerdo integra diretamente para \dfrac{1}{2}y^{2} (mais uma constante). No lado direito fazemos uma substituição para resolver a integral: seja \,u=x^{2}. Então \,du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Assim
onde C é a constante de integração. Portanto obtemos
\dfrac{1}{2}y^{2} = -\dfrac{1}{2}e^{x^{2}} + C.
Passo 4
Multiplicando por 2 para simplificar a expressão:
y^{2} = -e^{x^{2}} + C',
onde C' = 2C é outra constante (apenas renomeamos). Agora usamos a condição inicial \,y(0)=1 para determinar C'. Substituindo x=0 e y=1:
1^{2} = -e^{0} + C' \quad\Rightarrow\quad 1 = -1 + C' \quad\Rightarrow\quad C' = 2.
Logo a relação entre y e x fica
y^{2} = -e^{x^{2}} + 2 = 2 - e^{x^{2}}.
Passo 5
Para obter y isolado, tomamos a raiz quadrada. Assim
y(x) = \pm \sqrt{\,2 - e^{x^{2}}\,}.
Agora precisamos escolher o sinal correto usando a condição inicial: em x=0 a raiz dá \sqrt{2 - e^{0}} = \sqrt{2-1}=\sqrt{1}=1. A condição y(0)=1 exige o sinal positivo. Portanto a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial é
y(x) = \sqrt{\,2 - e^{x^{2}}\,}.
Passo 6
Uma observação importante sobre domínio: para que a função seja real precisamos que o argumento da raiz seja não-negativo:
Assim a solução real existe para |x| \le \sqrt{\ln 2}. O problema de valor inicial normalmente pede a solução em um intervalo contendo 0; este intervalo maximal onde a solução é real e contínua é [-\sqrt{\ln 2},\sqrt{\ln 2}].