Simplifique a expressão a seguir e calcule o resultado para a mesma:
\log _{2} 5-4 \cdot \log _{7} 3+3 \cdot \log _{4} 64-\log _{2} 5-2 \cdot \log _{4} 64+4 \cdot \log _{7} 3=
A) -2
B) 4
C) 6
D) -12

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão
\log_{2} 5 - 4\cdot \log_{7} 3 + 3\cdot \log_{4} 64 - \log_{2} 5 - 2\cdot \log_{4} 64 + 4\cdot \log_{7} 3.
Informações dadas (explicitadas):
\begin{aligned} &\text{Termos com base }2:\\ \log_{2}5\\ \text{e}\\\ -\log_{2}5;\\\ &\text{Termos com base }7:\\\ -4\cdot \log_{7}3\\ \text{e}\\\ +4\cdot \log_{7}3;\\\ &\text{Termos com base }4:\\\ 3\cdot \log_{4}64\\ \text{e}\\\ -2\cdot \log_{4}64. \end{aligned}

Passo 2

Relembrando propriedades de logaritmos que vamos usar (com explicação):
  • Propriedade da linearidade (coeficiente): \log_{a} b^k = k\cdot \log_{a} b. Isso significa que quando vemos k\cdot \log_{a} b podemos entender como \log_{a} (b^k), e vice-versa. Aqui a é a base do logaritmo, b o argumento e k um número real.
  • Propriedade da soma/subtração de termos semelhantes: logaritmos com a mesma base e mesmo argumento podem ser somados/subtraídos pelo coeficiente numérico; por exemplo, c_1\log_a x + c_2\log_a x = (c_1+c_2)\log_a x.
  • Identidade direta: \log_{a} a = 1 e, em geral, se a^m = b então \log_{a} b = m.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo — nada de pular etapas.

Passo 3

Agrupando termos semelhantes do enunciado (uso da propriedade de soma/subtração para termos com mesma base e mesmo argumento):
\bigl(\log_{2}5 - \log_{2}5\bigr)\;+\;\bigl(-4\cdot \log_{7}3 + 4\cdot \log_{7}3\bigr)\;+\;\bigl(3\cdot \log_{4}64 - 2\cdot \log_{4}64\bigr).
Agora calcule each grupo:
  • \log_{2}5 - \log_{2}5 = 0 (mesmo termo com sinais opostos).
  • -4\cdot \log_{7}3 + 4\cdot \log_{7}3 = 0 (mesmo termo com coeficientes que se cancelam).
  • 3\cdot \log_{4}64 - 2\cdot \log_{4}64 = (3-2)\cdot \log_{4}64 = 1\cdot \log_{4}64 = \log_{4}64.
Portanto a expressão reduz-se a
\log_{4}64.

Passo 4

Agora vamos calcular \log_{4}64. Duas maneiras equivalentes e bem diretas:
Maneira direta (reconhecimento de potências): verificar qual expoente de 4 64.
4^1 = 4,\quad 4^2 = 16,\quad 4^3 = 64.
Portanto \log_{4}64 = 3, pois 4^3 = 64.
Maneira usando fatoração em potências de 2 (é útil quando não reconhecemos rapidamente):
4 = 2^2,\qquad 64 = 2^6.
Usando \log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a} com c=2, temos
\log_{4}64 = \dfrac{\log_{2}64}{\log_{2}4} = \dfrac{6}{2} = 3.
As duas maneiras dão o mesmo resultado: \log_{4}64 = 3.

Passo 5

Substituindo o valor encontrado na expressão reduzida, o valor final da expressão é
\log_{4}64 = 3.

Resposta

3

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