Simplifique a expressão a seguir e calcule o resultado para a mesma:
A) -2
B) 4
C) 6
D) -12
A) -2
B) 4
C) 6
D) -12
Passo 1
O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão
Informações dadas (explicitadas):
Passo 2
Relembrando propriedades de logaritmos que vamos usar (com explicação):
- Propriedade da linearidade (coeficiente):
. Isso significa que quando vemos podemos entender como , e vice-versa. Aqui é a base do logaritmo, o argumento e um número real. - Propriedade da soma/subtração de termos semelhantes: logaritmos com a mesma base e mesmo argumento podem ser somados/subtraídos pelo coeficiente numérico; por exemplo,
. - Identidade direta:
e, em geral, se então .
Vou aplicar essas propriedades passo a passo — nada de pular etapas.
Passo 3
Agrupando termos semelhantes do enunciado (uso da propriedade de soma/subtração para termos com mesma base e mesmo argumento):
Agora calcule each grupo:
-
(mesmo termo com sinais opostos). -
(mesmo termo com coeficientes que se cancelam). -
Portanto a expressão reduz-se a
Passo 4
Agora vamos calcular
. Duas maneiras equivalentes e bem diretas:
Maneira direta (reconhecimento de potências): verificar qual expoente de
dá
.
Portanto
, pois
.
Maneira usando fatoração em potências de
(é útil quando não reconhecemos rapidamente):
Usando
com
, temos
As duas maneiras dão o mesmo resultado:
.
Passo 5
Substituindo o valor encontrado na expressão reduzida, o valor final da expressão é
Resposta
3