Calcule o valor do determinante:
\left|\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -4 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é a técnica de expansão de Laplace (cofatores) explorando as muitas entradas nulas na primeira coluna.

Passo 2

Expandindo \det A ao longo da primeira coluna, apenas o elemento a_{11}=1 contribui. Assim
\det A = 1 \cdot \det B,
onde B é a submatriz 4\times4 obtida removendo a linha 1 e a coluna 1 de A:
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na matriz B, a primeira linha tem só um elemento não nulo, B_{11}=1. Expandindo \det B ao longo dessa linha:
\det B = 1 \cdot \det C,
com C sendo a submatriz 3\times3 que sobra ao remover linha 1 e coluna 1 de B:
C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar \det C usamos expansão de Laplace na primeira coluna (ou regra de Sarrus). Só o elemento c_{21}=5 contribui, com sinal (-1)^{2+1}=-1:
\det C = -5 \,\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Agora
\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = 2\cdot2 \;-\;1\cdot(-1) = 4 + 1 = 5.
Logo
\det C = -5 \times 5 = -25.]

Resposta

-25

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