Calcule o valor esperado da componente x do momento de uma partícula de massa m no nível n=3 de um poço quadrado unidimensional infinito de largura L. Você considera o resultado razoável, já que a energia de uma partícula neste nível é 9 pi^2 hbar^2 / 2 m L^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor esperado da componente $ x $ do momento ($ \langle p_x \rangle $) de uma partícula com massa $ m $ no nível $ n=3 $ de um poço quadrado unidimensional infinito de largura $ L $. Além disso, queremos saber se esse resultado faz sentido considerando que a energia dessa partícula é $ \frac{9 \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários em poços de potencial e operadores de momentum.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o valor esperado de um operador, como o operador de momentum $ \hat{p}_x $, para um estado quântico $ \psi_n(x) $, é dado por:
px
Onde $ \hat{p}_x = -i\hbar \frac{d}{dx} $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função de onda $ \psi_n(x) $ para o poço infinito unidimensional. Ela é dada por:
psin(x)
Para $ n=3 $, temos:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)

Passo 4

Vamos calcular $ \langle p_x \rangle $ usando a expressão mencionada:
lang<= px rang<=
Primeiro, vamos derivar $ \psi_3(x) $:
lang<= px rang<= = integral0^L psi3(x) , (-ihbar) ddx psi3(x) , dx

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do valor esperado:
lang<= px rang<= = -ihbar integral0^L raiz2L sin(3pi xL) cdot raiz2L cdot 3piL cos(3pi xL) dx
Simplificando os termos:
lang<= px rang<= = -ihbar cdot 6piL^2 integral0^L sin(3pi xL) cos(3pi xL) dx

Passo 6

Usando a identidade trigonométrica:
sin(a)cos(a) = 12sin(2a)
Aplicando:
lang<= px rang<= = -ihbar cdot 6piL^2 cdot 12 integral0^L sin(6pi xL) dx
Simplificando:
lang<= px rang<= = -ihbar cdot 3piL^2 [ -L6pi cos(6pi xL) ]0^L

Passo 7

Calculando os limites da integral:
[ -L6pi cos(6pi LL) + L6pi cos(0) ] = [ -L6pi cos(6pi) + L6pi cdot 1 ]
Sabemos que $ \cos(6\pi) = 1 $, então:
cos(6pi) = 1

Passo 8

Portanto:
lang<= px rang<= = -ihbar cdot 3piL^2 cdot 0 = 0

Resposta

O valor esperado da componente $ x $ do momento da partícula no nível $ n=3 $ é zero, ou seja, $ \langle p_x \rangle = 0 $. Isso faz sentido, já que a função de onda é simétrica e não apresenta preferência de direção para o movimento da partícula.

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