Calcule o valor esperado da componente
do momento de uma partícula de massa
no nível
de um poço quadrado unidimensional infinito de largura
. Você considera o resultado razoável, já que a energia de uma partícula neste nível é
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor esperado da componente $ x $ do momento ($ \langle p_x \rangle $) de uma partícula com massa $ m $ no nível $ n=3 $ de um poço quadrado unidimensional infinito de largura $ L $. Além disso, queremos saber se esse resultado faz sentido considerando que a energia dessa partícula é $ \frac{9 \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} $. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre mecânica quântica, especificamente sobre estados estacionários em poços de potencial e operadores de momentum.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o valor esperado de um operador, como o operador de momentum $ \hat{p}_x $, para um estado quântico $ \psi_n(x) $, é dado por:
Onde $ \hat{p}_x = -i\hbar \frac{d}{dx} $.
Passo 3
Agora, vamos considerar a função de onda $ \psi_n(x) $ para o poço infinito unidimensional. Ela é dada por:
Para $ n=3 $, temos:
Passo 4
Vamos calcular $ \langle p_x \rangle $ usando a expressão mencionada:
Primeiro, vamos derivar $ \psi_3(x) $:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do valor esperado:
Simplificando os termos:
Passo 6
Usando a identidade trigonométrica:
Aplicando:
Simplificando:
Passo 7
Calculando os limites da integral:
Sabemos que $ \cos(6\pi) = 1 $, então:
Passo 8
Portanto:
Resposta
O valor esperado da componente $ x $ do momento da partícula no nível $ n=3 $ é zero, ou seja, $ \langle p_x \rangle = 0 $. Isso faz sentido, já que a função de onda é simétrica e não apresenta preferência de direção para o movimento da partícula.