Calcule o valor esperado da energia cinética de uma partícula de massa
que se move no nível
de um poço quadrado unidimensional infinito de largura
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede: “Calcule o valor esperado da energia cinética de uma partícula de massa
no nível
de um poço quadrado unidimensional infinito de largura
.”
Isso é mecânica quântica básica: poço infinito e expectativa de operador (energia cinética). Pra resolver, a gente vai precisar da função de onda no poço, do operador de energia cinética , e de como calcular valor esperado (integral da forma
).
Isso é mecânica quântica básica: poço infinito e expectativa de operador (energia cinética). Pra resolver, a gente vai precisar da função de onda no poço, do operador de energia cinética
Passo 2
Primeiro, a função de onda de uma partícula no poço infinito (entre
e
) no nível
é
O operador de energia cinética é
Passo 3
Agora montamos o valor esperado:
Aqui usamos que
é real, então
.
Passo 4
Vamos aplicar o operador:
Logo
onde reconhecemos
como a energia total (que aqui é toda cinética, pois o potencial é zero dentro do poço).
Passo 5
Substituindo de volta na integral, como
, obtemos
A normalização de
garante que
.
Resposta
Para
,