Calcule o valor esperado da energia cinética de uma partícula de massa m que se move no nível n=2 de um poço quadrado unidimensional infinito de largura L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede: “Calcule o valor esperado da energia cinética de uma partícula de massa no nível de um poço quadrado unidimensional infinito de largura .”
Isso é mecânica quântica básica: poço infinito e expectativa de operador (energia cinética). Pra resolver, a gente vai precisar da função de onda no poço, do operador de energia cinética , e de como calcular valor esperado (integral da forma ).

Passo 2

Primeiro, a função de onda de uma partícula no poço infinito (entre psin(x) = raiz2L;sin!l(tfracnpi xLr) e psin(x)=0;fora de [0,L] e hat T ;=; hat p^22m ;=; -hbar^22m,d^2dx^2 ) no nível é
O operador de energia cinética é

Passo 3

Agora montamos o valor esperado:
lang<= Trang<= = integral0^L psin^*(x),gl(-hbar^22m,d^2dx^2gr),psin(x),dx
Aqui usamos que é real, então .

Passo 4

Vamos aplicar o operador:
d^2dx^2sin!l(tfracnpi xLr) = -l(tfracnpiLr)^2sin!l(tfracnpi xLr)
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-hbar^22m,d^2dx^2psin(x) = hbar^22m,l(tfracnpiLr)^2,psin(x) = En,psin(x),
onde reconhecemos
En = hbar^2 n^2pi^22mL^2
como a energia total (que aqui é toda cinética, pois o potencial é zero dentro do poço).

Passo 5

Substituindo de volta na integral, como lang<= Trang<= = integral0^L psin,En,psin,dx = En integral0^Lpsin^2,dx = Encdot1 = En , obtemos
A normalização de garante que .

Resposta

Para boxed lang<= Trang<= = E2 = hbar^2,2^2pi^22mL^2 = 2pi^2hbar^2mL^2 ,

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