Use a equação de Schrödinger para mostrar que o valor esperado da energia cinética de uma partícula é dado por
lang<= Ekrang<==integral-x^+infty psi(x)(-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2) d x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede que a gente use a equação de Schrödinger para provar que o valor esperado (ou “média”) da energia cinética de uma partícula pode ser escrito como
lang<= Ekrang<= ;=;integral-infty^+inftypsi(x),l(-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2r),dx
O conteúdo envolvido aqui é Mecânica Quântica, mais especificamente o uso da equação de Schrödinger independente do tempo e a definição de valor esperado de um operador (no caso, o operador energia cinética). Para resolver isso, vamos recordar a forma da equação de Schrödinger e o que é operar com ela, passo a passo, sem pular nenhuma etapa.

Passo 2

Escreve lá a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D (assumindo função de onda real só para simplificar, mas o raciocínio vale em geral):
-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2 ;+; V(x),psi(x) ;=; E,psi(x)
Aqui, -hbar^22m,d^2dx^2 é o operador que corresponde à energia cinética hat T, V(x) é o potencial e E é a energia total.

Passo 3

Isola o termo que representa o operador cinético:
-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2 ;=; E,psi(x);-;V(x),psi(x)
Ou seja,
hat T,psi(x);=;l(E - V(x)r),psi(x)
Mas o que interessa pra gente é entender que, por definição, o operador da energia cinética é
hat T ;=; -hbar^22m,d^2dx^2

Passo 4

Lembra que o valor esperado (ou média) de qualquer operador hat O é
lang<= Orang<= ;=;integral-infty^+inftypsi^*(x),l[hat O,psi(x)r],dx
No nosso caso, a função de onda a gente está tratando como real (ou pode tomar psi^* igual a psi em 1D real), então:
lang<= Ekrang<= ;=;integral-infty^+inftypsi(x),l[hat T,psi(x)r],dx
Substitui o operador hat T que a gente isolou:
lang<= Ekrang<= = integral-infty^+inftypsi(x),l(-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2r),dx

Passo 5

Pronto! Isso mostra exatamente que o valor esperado da energia cinética é
lang<= Ekrang<= = integral-infty^+inftypsi(x),l(-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2r),dx
A teoria aplicada aqui foi:
  1. Identificar o operador cinético na equação de Schrödinger;
  2. Usar a definição de valor esperado para operadores.

Resposta

boxedlang<= Ekrang<= = integral-infty^+inftypsi(x),l(-hbar^22m,d^2psi(x)dx^2r),dx

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