Use a equação de Schrödinger para mostrar que o valor esperado da energia cinética de uma partícula é dado por
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede que a gente use a equação de Schrödinger para provar que o valor esperado (ou “média”) da energia cinética de uma partícula pode ser escrito como
O conteúdo envolvido aqui é Mecânica Quântica, mais especificamente o uso da equação de Schrödinger independente do tempo e a definição de valor esperado de um operador (no caso, o operador energia cinética). Para resolver isso, vamos recordar a forma da equação de Schrödinger e o que é operar com ela, passo a passo, sem pular nenhuma etapa.
Passo 2
Escreve lá a equação de Schrödinger independente do tempo em 1D (assumindo função de onda real só para simplificar, mas o raciocínio vale em geral):
Aqui,
é o operador que corresponde à energia cinética
,
é o potencial e
é a energia total.
Passo 3
Isola o termo que representa o operador cinético:
Ou seja,
Mas o que interessa pra gente é entender que, por definição, o operador da energia cinética é
Passo 4
Lembra que o valor esperado (ou média) de qualquer operador
é
No nosso caso, a função de onda a gente está tratando como real (ou pode tomar
igual a
em 1D real), então:
Substitui o operador
que a gente isolou:
Passo 5
Pronto! Isso mostra exatamente que o valor esperado da energia cinética é
A teoria aplicada aqui foi:
- Identificar o operador cinético na equação de Schrödinger;
- Usar a definição de valor esperado para operadores.