Calcule o valor esperado das observáveis
no estado
dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o valor esperado das observáveis $ S_x $, $ S_y $, $ S_z $ e $ S^2 $ no estado quântico $ |\psi(t)\rangle $ fornecido. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de spin e como calcular valores esperados em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no estado $ |\psi(t)\rangle $. Ele está escrito como uma combinação linear dos estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $, que são os autovetores de $ S_z $, o operador de spin na direção z. A expressão é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um valor esperado. Em mecânica quântica, o valor esperado de um operador $ \hat{O} $ no estado $ |\psi\rangle $ é dado por:
Ou seja, é uma média ponderada dos possíveis resultados da observável $ \hat{O} $.
Passo 4
Vamos começar calculando $ \langle S_z \rangle $. Sabemos que $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $ são os autovetores de $ S_z $ com autovalores $ \frac{\hbar}{2} $ e $ -\frac{\hbar}{2} $, respectivamente. Assim:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \langle S_x \rangle $. Os operadores $ S_x $ e $ S_y $ misturam os estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $. A matriz de $ S_x $ em relação a essa base é:
Então, o valor esperado $ \langle S_x \rangle $ é:
Passo 6
De forma similar, para $ \langle S_y \rangle $, usamos a matriz de $ S_y $:
E calculamos:
Passo 7
Por fim, para $ \langle S^2 \rangle $, sabemos que para operadores de spin, $ S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 $. Para spin-1/2, temos:
Resposta
Os valores esperados são: