Calcule o valor esperado das observáveis Sx, Sy, Sz, S^2 no estado |psi(t)rang<= dado por
|psi(t)rang<==cos theta2 e^-i(varphi+omega0 t) / 2|+rang<=+sin theta2 e^i(varphi+omega0 t) / 2|-rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o valor esperado das observáveis $ S_x $, $ S_y $, $ S_z $ e $ S^2 $ no estado quântico $ |\psi(t)\rangle $ fornecido. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores de spin e como calcular valores esperados em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no estado $ |\psi(t)\rangle $. Ele está escrito como uma combinação linear dos estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $, que são os autovetores de $ S_z $, o operador de spin na direção z. A expressão é:
|psi(t)rang<=

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um valor esperado. Em mecânica quântica, o valor esperado de um operador $ \hat{O} $ no estado $ |\psi\rangle $ é dado por:
O
Ou seja, é uma média ponderada dos possíveis resultados da observável $ \hat{O} $.

Passo 4

Vamos começar calculando $ \langle S_z \rangle $. Sabemos que $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $ são os autovetores de $ S_z $ com autovalores $ \frac{\hbar}{2} $ e $ -\frac{\hbar}{2} $, respectivamente. Assim:
lang<= Sz rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \langle S_x \rangle $. Os operadores $ S_x $ e $ S_y $ misturam os estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $. A matriz de $ S_x $ em relação a essa base é:
lang<= Sx rang<=
Então, o valor esperado $ \langle S_x \rangle $ é:
Sx

Passo 6

De forma similar, para $ \langle S_y \rangle $, usamos a matriz de $ S_y $:
lang<= Sy rang<=
E calculamos:
Sy

Passo 7

Por fim, para $ \langle S^2 \rangle $, sabemos que para operadores de spin, $ S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 $. Para spin-1/2, temos:
lang<= S^2 rang<=

Resposta

Os valores esperados são:
lang<= Sx rang<= = hbar2 sin theta cos (varphi + omega0 t)
lang<= Sy rang<= = hbar2 sin theta sin (varphi + omega0 t)
lang<= Sz rang<= = hbar2 cos theta
lang<= S^2 rang<= = 3hbar^24

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