Utilizando a relação de completeza e os elementos de matriz de
e
na base
, mostre que
Passo 1
Então, a gente tem esse exercício que quer mostrar como os operadores de spin $ S_x $, $ S_y $ e $ S_z $ se comportam numa base específica, que é a base
. Para isso, vamos usar a relação de completude, que basicamente diz que a soma dos projetores dessa base dá a identidade. O que precisamos aqui é entender como escrever os operadores de spin nessa base usando os elementos de matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a relação de completude. Numa base
, a relação de completude é:
onde $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que qualquer operador pode ser escrito como uma combinação desses projetores.
Passo 3
Agora, vamos focar no operador $ S_x $. Sabemos que $ S_x $ é um operador de spin na direção x. Para expressar $ S_x $ nessa base, vamos usar os elementos de matriz. Os elementos de matriz de $ S_x $ na base
são:
Isso porque $ S_x $ troca os estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $ com um coeficiente
.
Passo 4
Usando esses elementos de matriz, podemos escrever $ S_x $ como:
Fatorando
, temos:
Passo 5
Vamos repetir o mesmo processo para o operador $ S_y $. Os elementos de matriz de $ S_y $ na mesma base são:
Aqui, notamos que há um fator imaginário $ i $.
Passo 6
Assim, $ S_y $ fica:
Podemos escrever de forma mais compacta como:
Passo 7
Por último, vamos ver o operador $ S_z $. Os elementos de matriz são:
Aqui, $ S_z $ mede o spin na direção z e não troca os estados.
Passo 8
Com esses elementos, temos:
Que pode ser escrito como:
Resposta
Assim, mostramos que usando a relação de completude e os elementos de matriz na base
, os operadores de spin são: