Utilizando a relação de completeza e os elementos de matriz de Sx, Sy e Sz na base |+rang<=,|-rang<=, mostre que
Sx & =hbar2(|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|) Sy & =i hbar2(-|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|) Sz & =hbar2(|+rang<=lang<=+|-|-rang<=lang<=-|)

Passo 1

Então, a gente tem esse exercício que quer mostrar como os operadores de spin $ S_x $, $ S_y $ e $ S_z $ se comportam numa base específica, que é a base Sx . Para isso, vamos usar a relação de completude, que basicamente diz que a soma dos projetores dessa base dá a identidade. O que precisamos aqui é entender como escrever os operadores de spin nessa base usando os elementos de matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a relação de completude. Numa base |+rang<=, |-rang<=, a relação de completude é:
|+rang<=lang<=+| + |-rang<=lang<=-| = I
onde $ I $ é a matriz identidade. Isso significa que qualquer operador pode ser escrito como uma combinação desses projetores.

Passo 3

Agora, vamos focar no operador $ S_x $. Sabemos que $ S_x $ é um operador de spin na direção x. Para expressar $ S_x $ nessa base, vamos usar os elementos de matriz. Os elementos de matriz de $ S_x $ na base Sx são:
Sx
Isso porque $ S_x $ troca os estados $ |+\rangle $ e $ |-\rangle $ com um coeficiente Sx .

Passo 4

Usando esses elementos de matriz, podemos escrever $ S_x $ como:
Sx
Fatorando Sx = hbar2 |+rang<=lang<=-| + hbar2 |-rang<=lang<=+| , temos:
hbar2

Passo 5

Vamos repetir o mesmo processo para o operador $ S_y $. Os elementos de matriz de $ S_y $ na mesma base são:
Sy
Aqui, notamos que há um fator imaginário $ i $.

Passo 6

Assim, $ S_y $ fica:
Sy
Podemos escrever de forma mais compacta como:
Sy = -ihbar2 |+rang<=lang<=-| + ihbar2 |-rang<=lang<=+|

Passo 7

Por último, vamos ver o operador $ S_z $. Os elementos de matriz são:
Sz
Aqui, $ S_z $ mede o spin na direção z e não troca os estados.

Passo 8

Com esses elementos, temos:
Sz = hbar2 |+rang<=lang<=+| - hbar2 |-rang<=lang<=-|
Que pode ser escrito como:
Sz = hbar2 (|+rang<=lang<=+| - |-rang<=lang<=-|)

Resposta

Assim, mostramos que usando a relação de completude e os elementos de matriz na base |+rang<=, |-rang<=, os operadores de spin são:
Sx & =hbar2(|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|) Sy & =i hbar2(-|+rang<=lang<=-|+|-rang<=lang<=+|) Sz & =hbar2(|+rang<=lang<=+|-|-rang<=lang<=-|)

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