Escreva a representação matricial dos operadores S+e S-, definidos por
S+=Sx+i Sy ; S-=Sx-i Sy
na base |+rang<=,|-rang<=. Mostre que S+^dag>=r=S-e S-^dag>=r=S+

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as representações matriciais dos operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base S+ . Isso está relacionado à matéria de mecânica quântica, especificamente aos operadores de spin. Para resolver isso, vamos precisar saber como os operadores de spin $ S_x $ e $ S_y $ são representados nessa base e depois combinar eles para encontrar $ S_{+} $ e $ S_{-} $. No final, também vamos mostrar que o adjunto de $ S_{+} $ é $ S_{-} $ e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são os operadores de spin $ S_x $ e $ S_y $ na base Sx . Para um spin-½, esses operadores são representados pelas matrizes:
Sy
Aqui, |+rang<=, |-rang<= é a constante de Planck reduzida, mas para simplificar nossos cálculos, podemos considerar Sx = hbar2 0 & 1 1 & 0 , Sy = hbar2 0 & -i i & 0 .

Passo 3

Agora, vamos construir os operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ usando as definições:
S+
Substituindo as matrizes de $ S_x $ e $ S_y $:
S-
De maneira semelhante:
S+ = Sx + i Sy, S- = Sx - i Sy
Então, as matrizes de $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base Sx são:
Sy

Passo 4

Agora, vamos mostrar que o adjunto de $ S_{+} $ é $ S_{-} $ e o adjunto de $ S_{-} $ é $ S_{+} $. O adjunto de uma matriz é basicamente sua conjugada transposta.
Primeiro, calculamos $ S_{+}^{\dagger} $:
S+
Agora, calculamos $ S_{-}^{\dagger} $:
S-
Então, mostramos que:
S-

Resposta

As matrizes dos operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base S+ são:
S-
E de fato, os adjuntos satisfazem:
|+rang<=, |-rang<=

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