Escreva a representação matricial dos operadores
e
, definidos por
na base
. Mostre que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as representações matriciais dos operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base
. Isso está relacionado à matéria de mecânica quântica, especificamente aos operadores de spin. Para resolver isso, vamos precisar saber como os operadores de spin $ S_x $ e $ S_y $ são representados nessa base e depois combinar eles para encontrar $ S_{+} $ e $ S_{-} $. No final, também vamos mostrar que o adjunto de $ S_{+} $ é $ S_{-} $ e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são os operadores de spin $ S_x $ e $ S_y $ na base
. Para um spin-½, esses operadores são representados pelas matrizes:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida, mas para simplificar nossos cálculos, podemos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos construir os operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ usando as definições:
Substituindo as matrizes de $ S_x $ e $ S_y $:
De maneira semelhante:
Então, as matrizes de $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base
são:
Passo 4
Agora, vamos mostrar que o adjunto de $ S_{+} $ é $ S_{-} $ e o adjunto de $ S_{-} $ é $ S_{+} $. O adjunto de uma matriz é basicamente sua conjugada transposta.
Primeiro, calculamos $ S_{+}^{\dagger} $:
Agora, calculamos $ S_{-}^{\dagger} $:
Então, mostramos que:
Resposta
As matrizes dos operadores $ S_{+} $ e $ S_{-} $ na base
são:
E de fato, os adjuntos satisfazem: