Calcule o valor das expressões:
\operatorname{Cotg} \frac{\pi}{3}+\operatorname{Cotg} \frac{\pi}{4}+\operatorname{Cotg} \frac{\pi}{6}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a soma
\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{3}+\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{4}+\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{6}.
Informações úteis (conversão para graus para facilitar a intuição):
\frac{\pi}{3}=60^\circ,\qquad \frac{\pi}{4}=45^\circ,\qquad \frac{\pi}{6}=30^\circ.

Passo 2

Definição e ideia básica que vamos usar. A função cotangente é definida por
\operatorname{Cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Então para cada ângulo vou usar os valores conhecidos de seno e cosseno nos ângulos especiais 30^\circ, 45^\circ e 60^\circ.
Breve justificativa dos valores (sem pular etapas):
  • Para \,45^\circ: em um triângulo retângulo isósceles com catetos iguais de comprimento 1, a hipotenusa vale \sqrt{2}. Assim
\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Para 30^\circ e 60^\circ: cortar um triângulo equilátero de lado 2 ao meio gera um triângulo retângulo com hipotenusa 2, cateto menor 1 (oposto a 30^\circ) e cateto maior \sqrt{3} (oposto a 60^\circ). Assim
\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2}.

Passo 3

Calcular \operatorname{Cotg}\dfrac{\pi}{3} (isto é, \operatorname{Cotg}60^\circ):
\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{3}=\frac{\cos 60^\circ}{\sin 60^\circ}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcular \operatorname{Cotg}\dfrac{\pi}{4} (isto é, \operatorname{Cotg}45^\circ):
\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{4}=\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Passo 5

Calcular \operatorname{Cotg}\dfrac{\pi}{6} (isto é, \operatorname{Cotg}30^\circ):
\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{6}=\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Passo 6

Somar os três resultados:
\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{3}+\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{4}+\operatorname{Cotg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 + \sqrt{3}.
Juntar os termos com \sqrt{3}:
\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}=\frac{1+3}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.
Portanto a soma é
1+\frac{4}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (opcional):
1+\frac{4}{\sqrt{3}}=1+\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{3+4\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}

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