Calcule o valor das expressões:
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor da expressão
Informações dadas (cada símbolo abaixo está em notação trigonométrica padrão):
- Temos os ângulos
, , e . - As funções envolvidas são seno, cosseno e cotangente.
Passo 2
Vamos calcular
.
A maneira mais simples é lembrar o triângulo
(ou o círculo trigonométrico). Nesse triângulo, os comprimentos relativos dos lados são
(cateto menor),
(cateto maior) e
(hipotenusa). O ângulo
corresponde a
, cujo seno é razão entre cateto oposto e hipotenusa. Portanto
Passo 3
Vamos calcular
.
O ângulo
corresponde a
. Num triângulo retângulo isósceles de ângulos
, os catetos são iguais e a hipotenusa vale
vezes um cateto. Assim
Passo 4
Agora
.
Note que
. Há uma identidade de seno para ângulos suplementares:
Aplicando com
,
Passo 5
Agora vamos calcular
.
Primeiro lembrar que
.
O ângulo
é
, ou seja, está no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são ambos negativos. O ângulo de referência é
(30°), cujos valores são
No terceiro quadrante ambos trocam de sinal, então
Portanto
Passo 6
Substituímos os valores obtidos na expressão original:
Observe que
. Logo sobra
Se preferir escrever como única fração, coloca em denominar comum
: