Calcule o valor das expressões:
\operatorname{Sen} \frac{\pi}{3}+\operatorname{Cos} \frac{\pi}{4}-\operatorname{Sen} \frac{2 \pi}{3}+\operatorname{cotg} \frac{7 \pi}{6}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor da expressão
\operatorname{Sen}\frac{\pi}{3}+\operatorname{Cos}\frac{\pi}{4}-\operatorname{Sen}\frac{2\pi}{3}+\operatorname{cotg}\frac{7\pi}{6}.
Informações dadas (cada símbolo abaixo está em notação trigonométrica padrão):
  • Temos os ângulos \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3} e \frac{7\pi}{6}.
  • As funções envolvidas são seno, cosseno e cotangente.

Passo 2

Vamos calcular \operatorname{Sen}\frac{\pi}{3}.
A maneira mais simples é lembrar o triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ (ou o círculo trigonométrico). Nesse triângulo, os comprimentos relativos dos lados são 1 (cateto menor), \sqrt{3} (cateto maior) e 2 (hipotenusa). O ângulo \frac{\pi}{3} corresponde a 60^\circ, cujo seno é razão entre cateto oposto e hipotenusa. Portanto
\operatorname{Sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Vamos calcular \operatorname{Cos}\frac{\pi}{4}.
O ângulo \frac{\pi}{4} corresponde a 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles de ângulos 45^\circ, os catetos são iguais e a hipotenusa vale \sqrt{2} vezes um cateto. Assim
\operatorname{Cos}\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora \operatorname{Sen}\frac{2\pi}{3}.
Note que \frac{2\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{3}. Há uma identidade de seno para ângulos suplementares:
\operatorname{Sen}(\pi-\alpha)=\operatorname{Sen}\alpha.
Aplicando com \alpha=\frac{\pi}{3},
\operatorname{Sen}\frac{2\pi}{3}=\operatorname{Sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Agora vamos calcular \operatorname{cotg}\frac{7\pi}{6}.
Primeiro lembrar que \operatorname{cotg}\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.
O ângulo \frac{7\pi}{6} é \pi+\frac{\pi}{6}, ou seja, está no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são ambos negativos. O ângulo de referência é \frac{\pi}{6} (30°), cujos valores são
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
No terceiro quadrante ambos trocam de sinal, então
\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}.
Portanto
\operatorname{cotg}\frac{7\pi}{6}=\frac{\cos\frac{7\pi}{6}}{\sin\frac{7\pi}{6}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.

Passo 6

Substituímos os valores obtidos na expressão original:
\operatorname{Sen}\frac{\pi}{3}+\operatorname{Cos}\frac{\pi}{4}-\operatorname{Sen}\frac{2\pi}{3}+\operatorname{cotg}\frac{7\pi}{6} =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}.
Observe que \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0. Logo sobra
\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}.
Se preferir escrever como única fração, coloca em denominar comum 2:
\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}

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