Calcule o valor final da expressão:
(-2+j 3) times 40 e^j pi / 38 ang<= 140^circ+5 ang<=-40^circ-(4-j 3)+j(4+j 5)^* times(-6-j 8)4+j 5

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre operações com números complexos e fasores (phasors). A ideia é saber:
  1. Converter fasores de forma polar (⟨amplitude∠ângulo) pra retangular (a+jb) usando cos e sin.
  2. Fazer soma/subtração em formato retangular.
  3. Multiplicar e dividir números complexos em retangular (distribuição e/ou fórmula a+jbc+jd).
  4. Conjugar um complexo.
O que a gente precisa:
  • Tabela de cos e sin (ou calculadora).
  • Multiplicação e divisão de complexos no formato a+jb.

Passo 2

Primeiro, o numerador da primeira fração:
(-2 + j3)times 40e^jpi/3
Sabemos que
e^jpi/3=cospi3 + jsinpi3=tfrac12 + jtfracraiz32
Então
40e^jpi/3=40l(tfrac12 + jtfracraiz32r) =20 + j,20raiz3
Agora multiplica com (-2 + j3):
(-2 + j3),(20 + j,20raiz3) &= -2cdot20 ;+; -2cdot j,20raiz3 ;+; j3cdot20 ;+; j3cdot j,20raiz3 &= -40 ;-; j,40raiz3 ;+; j60 ;+; j^2,60raiz3 &= -40 - 60raiz3 ;+; j,(60 - 40raiz3),
lembrando que j^2=-1.
Se usar raiz3approx1.732, dá numericamente:
Numerador1approx -40 - 60cdot1.732 ;+; j,(60 - 40cdot1.732) approx -143.92 ;+; j,( -9.28 )

Passo 3

Agora o denominador da primeira fração:
8ang<=140^circ + 5ang<=(-40^circ);-;(4 - j3)
  1. Converte 8ang<=140^circ:
8(cos140^circ + jsin140^circ) approx 8(-0.7660 + j,0.6428) approx -6.128 + j,5.142
  1. Converte 5ang<=(-40^circ):
5(cos(-40^circ) + jsin(-40^circ)) approx 5(0.7660 - j,0.6428) approx 3.830 - j,3.215
  1. Soma e subtrai em retangular:
(-6.128 + j,5.142);+;(3.830 - j,3.215);-;(4 - j3) &= (-6.128+3.830-4);+;j(5.142-3.215+3) &approx -6.298 ;+; j,4.927

Passo 4

Divide o primeiro termo:
-143.92 + j(-9.28)-6.298 + j,4.927
Usa a fórmula
a+jbc+jd =(a+jb)(c-jd)c^2+d^2 =ac+bdc^2+d^2 ;+;j,bc-adc^2+d^2
Aqui a=-143.92,;b=-9.28,;c=-6.298,;d=4.927 e c^2+d^2approx63.93.
  • Parte real: ac+bdapprox 860.9
  • Parte imag: bc-adapprox 767.2
Logo
-143.92 - j9.28-6.298 + j4.927 approx 860.9 + j,767.263.93 approx 13.46 + j,12.00

Passo 5

Agora o segundo termo:
j,(4+j5)^*times(-6 - j8)4+j5
  1. Conjuga: (4+j5)^*=4-j5.
  2. Multiplica no numerador:
(4 - j5)(-6 - j8) &=4(-6-j8);-;j5(-6-j8) &=-24 - j32 + j30 + j^2,40 &=-24 - j32 + j30 -40 &=-64 ;-; j2
  1. Multiplica por j:
j(-64 - j2) =-64j - j^2,2 =2 - j64
  1. Divide por 4+j5 usando a mesma fórmula ( c^2+d^2=41):
2 - j644 + j5 approx (2)(4)+( -64)(5)41 ;+;j,(-64)(4)-(2)(5)41 =-31241 ;+; j,-26641 approx -7.61 - j6.49

Passo 6

Agora soma os dois termos:
(13.46 + j12.00);+;(-7.61 - j6.49) approx 5.85 + j5.51

Resposta

O valor final da expressão, em forma retangular aproximada, é
boxed,5.85 ;+; j,5.51,

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