A tensão aos terminais de um determinado componente é v=120 sen(wt+ 55^circ) V e a sua corrente é -18 cos (wt+145^circ) mA. Mostre que o componente é uma resistência e calcule o seu valor.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sinal de tensão e um de corrente em regime senoidal:
v(t)=120 sen(ωt+55°) V
i(t)=−18 cos(ωt+145°) mA
O assunto é análise de circuitos em regime senoidal (phasors). Para mostrar que o componente é só uma resistência, precisamos achar a sua impedância Z=V/I e ver se ela é real (sem parte imaginária). Se for real, Z=R mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar ambos para a forma coseno, porque em muitas análises de phasor se usa cos(ωt+φ).
Sabendo que
sen(θ)=cos(θ−90°),
temos
v(t)=120 sen(ωt+55°)=120 cos(ωt+55°−90°)=120 cos(ωt−35°).
Logo o fasor de tensão é
V = 120ang<=(-35°);V

Passo 3

Agora a corrente. Temos
i(t)=−18 cos(ωt+145°).
Podemos deslocar o sinal de menos virando o ângulo em 180°:
−18 cos(ωt+145°)=18 cos(ωt+145°+180°)=18 cos(ωt+325°).
Então o fasor de corrente é
I = 18ang<=(325°);mA =0,018ang<=(325°);A

Passo 4

Agora calculamos a impedância Z=V/I em fasores:
Z= V I =120ang<=(-35°)0,018ang<=(325°) =1200,018ang<=l(-35°-325°r)
Repare que −35°−325°=−360°, e um ângulo de −360° é equivalente a 0°. Então
Z=6666,7ang<=0°;Omega
Que é um número puramente real.

Passo 5

Como Z ficou real, o elemento não tem parte imaginária (sem reatância), ou seja, é só uma resistência. O valor dessa resistência em ohms é o módulo de Z:
R = |Z| = 6666,7;Omega approx 6,67;kOmega

Resposta

O componente se comporta como uma resistência de valor R≈6,67 kΩ.

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