Calcule o valor de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
, onde
é a unidade imaginária. As informações relevantes que temos:
-
é a unidade imaginária (porta-voz de ). - A propriedade básica que vamos usar é
.
A pergunta é: qual é o número complexo igual a?
Passo 2
Vamos listar os primeiros poderes de
para ver um padrão — isto é só multiplicar por
passo a passo e usar
.
Então os quatro primeiros valores são
.
Passo 3
Observação importante (a chave para a resolução): a sequência de valores se repete a cada 4 potências, porque
. Isso implica
ou seja, a sequência tem período
. Para calcular
basta reduzir o expoente
modulo
.
Passo 4
Aplicamos a divisão por
para achar o resto:
O resto é
. Isso significa que
é múltiplo de
, então
corresponde ao mesmo valor que
ou a
. Usando a propriedade de potências:
Passo 5
Comentário final modo amigo: então não precisa fazer contas gigantes — basta lembrar que as potências de
giram em um ciclo de quatro. Como
cai exatamente no final do ciclo, o resultado é
. Vai dar tudo certo na prova — respira!