Calcule o valor de:
i^{372}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de i^{372}, onde i é a unidade imaginária. As informações relevantes que temos:
  • i é a unidade imaginária (porta-voz de \sqrt{-1}).
  • A propriedade básica que vamos usar é \,i^{2} = -1.
    A pergunta é: qual é o número complexo igual a i^{372}?

Passo 2

Vamos listar os primeiros poderes de i para ver um padrão — isto é só multiplicar por i passo a passo e usar \,i^{2}=-1.
i^{1} = i
i^{2} = -1
i^{3} = i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i
i^{4} = i^{2}\cdot i^{2} = (-1)\cdot(-1) = 1
Então os quatro primeiros valores são i,\,-1,\,-i,\,1.

Passo 3

Observação importante (a chave para a resolução): a sequência de valores se repete a cada 4 potências, porque \,i^{4}=1. Isso implica
i^{n+4} = i^{n}\cdot i^{4} = i^{n}\cdot 1 = i^{n},
ou seja, a sequência tem período 4. Para calcular i^{372} basta reduzir o expoente 372 modulo 4.

Passo 4

Aplicamos a divisão por 4 para achar o resto:
372 = 4\cdot 93 + 0.
O resto é 0. Isso significa que 372 é múltiplo de 4, então i^{372} corresponde ao mesmo valor que i^{0} ou a i^{4}. Usando a propriedade de potências:
i^{372} = i^{4\cdot 93} = \left(i^{4}\right)^{93} = 1^{93} = 1.

Passo 5

Comentário final modo amigo: então não precisa fazer contas gigantes — basta lembrar que as potências de i giram em um ciclo de quatro. Como 372 cai exatamente no final do ciclo, o resultado é 1. Vai dar tudo certo na prova — respira!

Resposta

1

Exercícios relacionados