Calcule as raízes dos números complexos:
\sqrt[6]{-64}

Passo 1

O que o problema pede: calcular todas as raízes sextas de -64. Em outras palavras, encontrar todos os complexos z tais que
z^{6} = -64.
Informações dadas:
  • O número cujo radical queremos é -64 (um número real negativo).
  • Queremos todas as soluções complexas z para a equação acima (são exatamente 6 raízes, pois é um polinômio de grau 6).

Passo 2

Transformar -64 em forma polar (módulo e argumento), porque é o jeito mais prático para extrair raízes complexas.
Definições rápidas e intuitivas:
  • O módulo de um número complexo w, denotado por |w|, é a distância até a origem no plano complexo.
  • O argumento de w, denotado por \arg(w), é o ângulo que o vetor que representa w faz com o eixo real positivo.
  • Em forma polar/Exponencial: qualquer w\neq0 pode ser escrito como w = r e^{i\theta}, onde r=|w|>0 e \theta=\arg(w).
Para -64:
  • O módulo é |-64| = 64.
  • O ponto -64 está sobre o eixo real negativo, logo um argumento possível é \pi. Em geral poderíamos escrever o argumento como \pi + 2\pi n para qualquer inteiro n.
    Portanto podemos escrever
-64 = 64\,e^{i(\pi + 2\pi n)},\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Fórmula geral para as raízes n-ésimas (a ‘aula’ curta que tu precisa decorar):
Se w = r e^{i\theta} e se queremos encontrar todos os complexos z tais que z^{n}=w, então as soluções são
z_k = r^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando as variáveis:
  • r é o módulo de w.
  • \theta é um argumento de w.
  • n é o índice da raiz (aqui n=6).
  • k varia de 0 a n-1 para gerar todas as raízes distintas (cada k dá uma raiz diferente porque adiciona 2\pi no numerador, que depois dividido por n gera ângulos distintos mod 2\pi).
Essa fórmula vem diretamente do Teorema de De Moivre e da propriedade das exponenciais complexas: ao elevar r^{1/n}e^{i\varphi} à n-ésima potência obtém-se r e^{i n\varphi}, e nós escolhemos \varphi=(\theta+2\pi k)/n para que n\varphi=\theta+2\pi k, recuperando w.

Passo 4

Aplicando a fórmula para o nosso caso: r=64, \theta=\pi, n=6.
Calcular a magnitude da raiz:
r^{1/6} = 64^{1/6}.
Como 64 = 2^{6}, segue que
64^{1/6} = (2^{6})^{1/6} = 2.
Calcular os argumentos das raízes:
\theta_k = \frac{\pi + 2\pi k}{6} = \frac{\pi(1+2k)}{6},\qquad k=0,1,2,3,4,5.
Vamos listar e simplificar esses ângulos (em radianos):
  • Para k=0: \theta_0 = \dfrac{\pi(1+0)}{6} = \dfrac{\pi}{6}.
  • Para k=1: \theta_1 = \dfrac{\pi(1+2)}{6} = \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}.
  • Para k=2: \theta_2 = \dfrac{\pi(1+4)}{6} = \dfrac{5\pi}{6}.
  • Para k=3: \theta_3 = \dfrac{\pi(1+6)}{6} = \dfrac{7\pi}{6}.
  • Para k=4: \theta_4 = \dfrac{\pi(1+8)}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2}.
  • Para k=5: \theta_5 = \dfrac{\pi(1+10)}{6} = \dfrac{11\pi}{6}.

Passo 5

As raízes em forma polar/exponencial são, para k=0,\dots,5,
z_k = 2\,e^{i\theta_k} = 2\big(\cos\theta_k + i\sin\theta_k\big).
Ou seja:
z_k = 2\big(\cos\theta_k + i\sin\theta_k\big), \qquad \theta_k\in\left\{\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{11\pi}{6}\right\}.

Passo 6

Converter cada raiz para a forma retangular a+bi usando valores trigonométricos conhecidos.
Conhecimentos trigonométricos usados:
  • \cos\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.
  • \cos\!\tfrac{\pi}{2}=0, \sin\!\tfrac{\pi}{2}=1.
  • \cos\!\tfrac{5\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{1}{2}.
  • \cos\!\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac{1}{2}.
  • \cos\!\tfrac{3\pi}{2}=0, \sin\!\tfrac{3\pi}{2}=-1.
  • \cos\!\tfrac{11\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin\!\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac{1}{2}.
Multiplicando cada par por 2:
  • Para \theta_0=\tfrac{\pi}{6}:
z_0 = 2\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\tfrac{1}{2}\Big) = \sqrt{3} + i.
  • Para \theta_1=\tfrac{\pi}{2}:
z_1 = 2(0 + i\cdot1) = 2i.
  • Para \theta_2=\tfrac{5\pi}{6}:
z_2 = 2\Big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\tfrac{1}{2}\Big) = -\sqrt{3} + i.
  • Para \theta_3=\tfrac{7\pi}{6}:
z_3 = 2\Big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\big(-\tfrac{1}{2}\big)\Big) = -\sqrt{3} - i.
  • Para \theta_4=\tfrac{3\pi}{2}:
z_4 = 2(0 + i\cdot(-1)) = -2i.
  • Para \theta_5=\tfrac{11\pi}{6}:
z_5 = 2\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\big(-\tfrac{1}{2}\big)\Big) = \sqrt{3} - i.
Verificação rápida (ideia para a prova): cada raiz tem módulo 2, logo ao elevar à sexta potência o módulo vira 2^{6}=64; o argumento de z_k multiplicado por 6 dá \pi + 2\pi m, portanto o resultado é 64 e^{i(\pi+2\pi m)}=-64. Isso confirma que estão corretas.

Passo 7

Interpretação geométrica e dica prática: as seis raízes são pontos igualmente espaçados (a cada 60^\circ) na circunferência de raio 2 centrada na origem, com a primeira (para k=0) em ângulo 30^\circ ( \pi/6). Na prova, faz esse procedimento: passar para forma polar, extrair a raiz do módulo (se for potência de inteiro fica fácil), dividir o argumento por n e listar k=0,\dots,n-1.

Resposta

\sqrt{3} + i
2i
-\sqrt{3} + i
-\sqrt{3} - i
-2i
\sqrt{3} - i

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