Calcule as raízes dos números complexos:
Passo 1
O que o problema pede: calcular todas as raízes sextas de
. Em outras palavras, encontrar todos os complexos
tais que
Informações dadas:
- O número cujo radical queremos é
(um número real negativo). - Queremos todas as soluções complexas
para a equação acima (são exatamente 6 raízes, pois é um polinômio de grau 6).
Passo 2
Transformar
em forma polar (módulo e argumento), porque é o jeito mais prático para extrair raízes complexas.
Definições rápidas e intuitivas:
- O módulo de um número complexo
, denotado por , é a distância até a origem no plano complexo. - O argumento de
, denotado por , é o ângulo que o vetor que representa faz com o eixo real positivo. - Em forma polar/Exponencial: qualquer
pode ser escrito como , onde e .
Para
:
- O módulo é
. - O ponto
está sobre o eixo real negativo, logo um argumento possível é . Em geral poderíamos escrever o argumento como para qualquer inteiro .
Portanto podemos escrever
Passo 3
Fórmula geral para as raízes
-ésimas (a ‘aula’ curta que tu precisa decorar):
Se e se queremos encontrar todos os complexos
tais que
, então as soluções são
Se
Explicando as variáveis:
-
é o módulo de . -
é um argumento de . -
é o índice da raiz (aqui ). -
varia de a para gerar todas as raízes distintas (cada dá uma raiz diferente porque adiciona no numerador, que depois dividido por gera ângulos distintos mod ).
Essa fórmula vem diretamente do Teorema de De Moivre e da propriedade das exponenciais complexas: ao elevar
à
-ésima potência obtém-se
, e nós escolhemos
para que
, recuperando
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para o nosso caso:
,
,
.
Calcular a magnitude da raiz:
Como
, segue que
Calcular os argumentos das raízes:
Vamos listar e simplificar esses ângulos (em radianos):
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
As raízes em forma polar/exponencial são, para
,
Ou seja:
Passo 6
Converter cada raiz para a forma retangular
usando valores trigonométricos conhecidos.
Conhecimentos trigonométricos usados:
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
Multiplicando cada par por
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Verificação rápida (ideia para a prova): cada raiz tem módulo
, logo ao elevar à sexta potência o módulo vira
; o argumento de
multiplicado por 6 dá
, portanto o resultado é
. Isso confirma que estão corretas.
Passo 7
Interpretação geométrica e dica prática: as seis raízes são pontos igualmente espaçados (a cada
) na circunferência de raio
centrada na origem, com a primeira (para
) em ângulo
(
). Na prova, faz esse procedimento: passar para forma polar, extrair a raiz do módulo (se for potência de inteiro fica fácil), dividir o argumento por
e listar
.