Calcule o valor de:
i^{99}

Passo 1

O enunciado pede para calcular i^{99}. Informação relevante que temos (definição do número imaginário):
  • i é a unidade imaginária e satisfaz \,i^{2} = -1.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras potências de i para ver um padrão, mostrando cada passo:
i^{1}=i.
i^{2}=-1 \quad\text{(pela definição).}çã
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.
i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.
Portanto, as potências de i seguem a sequência periódica \,i,\,-1,\,-i,\,1,\,...\, e depois repetem.

Passo 3

Explicação didática do porquê disso ser útil na prova: como i^{4}=1, qualquer potência i^{n} pode ser escrita como
i^{n} = (i^{4})^{k}\cdot i^{r} = 1^{k}\cdot i^{r} = i^{r},
onde n=4k+r e r é o resto da divisão de n por 4 (ou seja, r\in\{0,1,2,3\}). Assim, basta encontrar o resto de n ao dividir por 4 e usar a tabela:
\begin{array}{ll} r=0 \Rightarrow i^{r}=1,\\[4pt] r=1 \Rightarrow i^{r}=i,\\[4pt] r=2 \Rightarrow i^{r}=-1,\\[4pt] r=3 \Rightarrow i^{r}=-i. \end{array}]

Passo 4

Calcular o resto da divisão de 99 por 4:
99 = 4\cdot 24 + 3,
portanto o resto é r=3. Pelo raciocínio anterior,
i^{99} = i^{3}.

Passo 5

Usando o cálculo do Passo 2,
i^{3} = -i.
Dica prática para a prova: sempre reduza o expoente módulo 4. Por exemplo, i^{100}=i^{0}=1 porque 100 é múltiplo de 4.

Resposta

-i

Exercícios relacionados