Calcule o valor das integrais abaixo usando quadratura de Gauss e calcule diretamente usando as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de duas formas: usando quadratura de Gauss e calculando diretamente com as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Vamos precisar do método de Gauss–Legendre de dois pontos (exato para polinômios até grau 3) e da antiderivada de
.
Passo 2
Para aplicar a quadratura de Gauss–Legendre em
fazemos a mudança de variável
com
,
. Assim
e o intervalo
vira
.
Passo 3
Nos dois pontos de Gauss em
temos
Logo os nós em
são
e a função é
. Calculando:
A soma ponderada dá
Passo 4
Para calcular diretamente achamos a antiderivada:
Então
Passo 5
Comparando, a quadratura de Gauss de dois pontos e o cálculo direto dão o mesmo valor,
.