Calcule o valor das integrais abaixo usando quadratura de Gauss e calcule diretamente usando as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Compare os resultados.
\int_{-2}^{0}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-2}^{0} (x^2 - 1)\,dx
de duas formas: usando quadratura de Gauss e calculando diretamente com as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Vamos precisar do método de Gauss–Legendre de dois pontos (exato para polinômios até grau 3) e da antiderivada de x^2-1.

Passo 2

Para aplicar a quadratura de Gauss–Legendre em [-2,0] fazemos a mudança de variável
x = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2} \,t, \quad dx = \frac{b-a}{2}\,dt,
com a=-2, b=0. Assim
x = -1 + t, \quad dx = 1\cdot dt,
e o intervalo x\in[-2,0] vira t\in[-1,1].

Passo 3

Nos dois pontos de Gauss em [-1,1] temos
t_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}},\quad t_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad w_1 = w_2 = 1.
Logo os nós em x são
x_i = -1 + t_i,
e a função é f(x)=x^2-1. Calculando:
f\bigl(-1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \bigl(-1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^2 - 1 = 2\,\tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{1}{3},
f\bigl(-1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) = \bigl(-1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^2 - 1 = -2\,\tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{1}{3}.
A soma ponderada dá
\sum_{i=1}^2 w_i\,f(x_i) = \Bigl(2\tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{1}{3}\Bigr) + \Bigl(-2\tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 4

Para calcular diretamente achamos a antiderivada:
\int (x^2 - 1)\,dx = \frac{x^3}{3} - x + C.
Então
\int_{-2}^{0} (x^2 - 1)\,dx = \Bigl[\frac{x^3}{3} - x\Bigr]_{-2}^{0} = \bigl(0 - 0\bigr) - \Bigl(-\tfrac{8}{3} + 2\Bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 5

Comparando, a quadratura de Gauss de dois pontos e o cálculo direto dão o mesmo valor, \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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