Achar o número mínimo de subintervalos que se pode usar para, utilizando a regra do trapézio generalizada, obter:
I=\int_{0}^{1,2} e^{x} \cos (x) d x
com erro inferior a 0,5 \times 10^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de subintervalos n para aplicar a regra composta do trapézio em
I = \int_{0}^{1,2} e^{x}\cos(x)\,dx
de modo que o erro seja menor que 0,5\times10^{-3}. Vamos usar a fórmula de cota de erro da regra composta do trapézio, que envolve a segunda derivada de f(x)=e^{x}\cos(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f(x) = e^{x}\cos(x),
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\cos(x)\bigr) = e^{x}\cos(x) - e^{x}\sin(x) = e^{x}\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr),
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(\cos(x)-\sin(x))\bigr) = e^{x}(\cos(x)-\sin(x)) + e^{x}(-\sin(x)-\cos(x)) = -2\,e^{x}\sin(x).

Passo 3

No intervalo [0,1,2] temos \sin(x)\ge0, logo
|f''(x)| = 2\,e^{x}\,\sin(x)\le 2\,e^{x}.
Como e^{x} é crescente, a cota global será
M = \max_{x\in[0,1,2]}|f''(x)| \;\le\; 2\,e^{1,2}.

Passo 4

A cota de erro da regra composta do trapézio é
|E_T| \le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,M,
onde a=0, b=1,2 e M\le 2\,e^{1,2}. Queremos
\frac{(1,2-0)^3}{12\,n^2}\,2\,e^{1,2} \le 0,5\times10^{-3}.

Passo 5

Substituindo 1,2^3=1,728 e isolando n,
\frac{1,728\cdot2\,e^{1,2}}{12\,n^2} \le 0,0005 \qquad\Longrightarrow\qquad n^2 \ge \frac{1,728\cdot2\,e^{1,2}}{12\cdot0,0005}.
Calculando numericamente e^{1,2}\approx3,3201,
n^2 \ge \frac{1,728\cdot2\cdot3,3201}{0,006} = \frac{11,480}{0,006} \approx1913{,}3,
n \ge \sqrt{1913{,}3}\approx43{,}7.
Como n deve ser inteiro, tomamos n=44.

Resposta

44 subintervalos.

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