Calcule o valor das integrais abaixo usando quadratura de Gauss e calcule diretamente usando as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
de duas formas distintas:
- Aplicando quadratura de Gauss (regra de Gauss–Legendre) em
. - Integrando diretamente termo a termo, usando Cálculo Diferencial e Integral.
Passo 2
Quadratura de Gauss–Legendre com
pontos
Esta regra usa dois nós
Esta regra usa dois nós
e pesos
em tal forma que ela é exata para polinômios de grau até
. A aproximação é
Aqui
. Então calculamos
Note que os termos ímpares em
se anulam quando somamos
. Ficam só os pares:
Portanto, pela quadratura de Gauss com dois pontos obtemos
Passo 3
Integração direta
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
Somando tudo,
Passo 4
Os dois métodos deram exatamente o mesmo valor,
o que era esperado, pois a quadratura de Gauss com
é exata para polinômios de grau até 3.
Resposta
O valor da integral pelos dois métodos é
, sem erro de aproximação.