Calcule o valor das integrais abaixo usando quadratura de Gauss e calcule diretamente usando as técnicas de Cálculo Diferencial e Integral. Compare os resultados.
\int_{-1}^{1}\left(z^{3}+z^{2}+z+1\right) d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1}\bigl(z^{3}+z^{2}+z+1\bigr)\,dz
de duas formas distintas:
  1. Aplicando quadratura de Gauss (regra de Gauss–Legendre) em [-1,1].
  2. Integrando diretamente termo a termo, usando Cálculo Diferencial e Integral.

Passo 2

Quadratura de Gauss–Legendre com n=2 pontos
Esta regra usa dois nós
x_{1} = -\frac{1}{\sqrt{3}},\quad x_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}
e pesos
w_{1}=1,\quad w_{2}=1,
em tal forma que ela é exata para polinômios de grau até 2n-1=3. A aproximação é
\int_{-1}^{1}f(z)\,dz \approx \sum_{i=1}^{2} w_i\,f(x_i).
Aqui f(z)=z^{3}+z^{2}+z+1. Então calculamos
f\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^{3} +\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) +1.
Note que os termos ímpares em z se anulam quando somamos f(-1/\sqrt{3})+f(1/\sqrt{3}). Ficam só os pares:
f\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)+f\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) =2\cdot\Bigl(\tfrac{1}{3}+1\Bigr) =2\cdot\frac{4}{3} =\frac{8}{3}.
Portanto, pela quadratura de Gauss com dois pontos obtemos
\int_{-1}^{1}\bigl(z^{3}+z^{2}+z+1\bigr)\,dz \approx \frac{8}{3}.

Passo 3

Integração direta
Integramos termo a termo:
\int_{-1}^{1}z^{3}\,dz = 0 \quad(\text{função ímpar sobre intervalo simétrico}),çãíé
\int_{-1}^{1}z^{2}\,dz =\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{2}{3},
\int_{-1}^{1}z\,dz = 0 \quad(\text{ímpares se anulam}),í
\int_{-1}^{1}1\,dz = 2.
Somando tudo,
\int_{-1}^{1}\bigl(z^{3}+z^{2}+z+1\bigr)\,dz =0+\frac{2}{3}+0+2 =\frac{8}{3}.

Passo 4

Os dois métodos deram exatamente o mesmo valor,
\frac{8}{3},
o que era esperado, pois a quadratura de Gauss com n=2 é exata para polinômios de grau até 3.

Resposta

O valor da integral pelos dois métodos é \dfrac{8}{3}, sem erro de aproximação.

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