Calcule o valor da integral abaixo.
\int_{0}^{3}\left(3 x^{2}-4 x+1\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio de segundo grau, ou seja
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a Regra de Potência para antiderivadas de polinômios.

Passo 2

Vamos encontrar uma antiderivada F(x) de 3x^{2}-4x+1 usando a Regra de Potência, que diz que
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Para cada termo:
\int 3x^{2}dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3},\quad \int (-4x)dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2},\quad \int 1\,dx = x.
Logo,
F(x) = x^{3} - 2x^{2} + x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx = F(3) - F(0).
Calculando:
F(3) = 3^{3} - 2\cdot3^{2} + 3 = 27 - 18 + 3 = 12,
F(0) = 0^{3} - 2\cdot0^{2} + 0 = 0.
Portanto,
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}-4x+1\bigr)\,dx = 12 - 0 = 12.

Resposta

12

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